Угловой коэффициент прямой. В этой статье мы с вами рассмотрим задачи связанные с координатной плоскостью включённые в ЕГЭ по математике. Это задания на:
— определение углового коэффициента прямой, когда известны две точки через которые она проходит;
— определение абсциссы или ординаты точки пересечения двух прямых на плоскости.
Что такое абсцисса и ордината точки было описано в прошлой статье данной рубрики. В ней мы уже рассмотрели несколько задач связанных с координатной плоскостью. Что необходимо понимать для рассматриваемого типа задач? Немного теории.
Уравнение прямой на координатной плоскости имеет вид:
где k – это и есть угловой коэффициент прямой.
Следующий момент! Угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла наклона прямой. Это угол между данной прямой и осью ох.
Он лежит в пределах от 0 до 180 градусов.
То есть, если мы приведём уравнение прямой к виду y = kx + b, то далее всегда сможем определить коэффициент k (угловой коэффициент).
Так же, если мы исходя из условия сможем определить тангенс угла наклона прямой, то тем самым найдём её угловой коэффициент.
Следующий теоретический момент! Уравнение прямой походящей через две данные точки. Формула имеет вид:
Подробнее об этой формуле рассказано в этой статье!
Рассмотрим задачи (аналогичные задачам из открытого банка заданий):
Найдите угловой коэффициент прямой, проходящей через точки с координатами (–6;0) и (0;6).
В данной задаче самый рациональный путь решения это найти тангенс угла между осью ох и данной прямой. Известно, что он равен угловому коэффициенту. Рассмотрим прямоугольный треугольник образованный прямой и осями ох и оу:
Тангенсом угла в прямоугольном треугольнике является отношение противолежащего катета к прилежащему:
*Оба катета равны шести (это их длины).
Конечно, данную задачу можно решить используя формулу нахождения уравнения прямой проходящей через две данные точки. Но это будет более длительный путь решения.
Ответ: 1
Найдите угловой коэффициент прямой, проходящей через точки с координатами (5;0) и (0;5).
Формула уравнения прямой походящей через две данные точки имеет вид:
Наши точки имеют координаты (5;0) и (0;5). Значит,
Приведём формулу к виду y = kx + b
Получили, что угловой коэффициент k = – 1.
Ответ: –1
Прямая a проходит через точки с координатами (0;6) и (8;0). Прямая b проходит через точку с координатами (0;10) и параллельна прямой a. Найдите абсциссу точки пересечения прямой b с осью оx.
В данной задаче можно найти уравнение прямой a, определить угловой коэффициент для неё. У прямой b угловой коэффициент будет такой же, так как они параллельны. Далее можно найти уравнение прямой b. А затем, подставив в него значение y = 0, найти абсциссу. НО!
В данном случае, проще использовать свойство подобия треугольников.
Прямоугольные треугольники, образованные данными (параллельными) прямыми о осями координат подобны, а это значит, что отношения их соответствующих сторон равны.
Искомая абсцисса равна 40/3.
Ответ: 40/3
Прямая a проходит через точки с координатами (0;8) и (–12;0). Прямая b проходит через точку с координатами (0; –12) и параллельна прямой a. Найдите абсциссу точки пересечения прямой b с осью оx.
Для данной задачи самый рациональный путь решения — это применение свойства подобия треугольников. Но мы решим её другим путём.
Нам известны точки, через которые проходит прямая а. Можем составить уравнение прямой. Формула уравнения прямой походящей через две данные точки имеет вид:
По условию точки имеют координаты (0;8) и (–12;0). Значит,
Приведём к виду y = kx + b:
Получили, что угловой k = 2/3.
*Угловой коэффициент можно было найти через тангенс угла в прямоугольном треугольнике с катетами 8 и 12.
Известно, у параллельных прямых угловые коэффициенты равны. Значит уравнение прямой проходящей через точку (0;-12) имеет вид:
Найти величину b мы можем подставив абсциссу и ординату в уравнение:
Таким образом, прямая имеет вид:
Теперь чтобы найти искомую абсциссу точки пересечения прямой с осью ох, необходимо подставить у = 0:
Ответ: 18
Найдите ординату точки пересечения оси оy и прямой, проходящей через точку В(10;12) и параллельной прямой, проходящей через начало координат и точку А(10;24).
Найдём уравнение прямой проходящей через точки с координатами (0;0) и (10;24).
Формула уравнения прямой походящей через две данные точки имеет вид:
Наши точки имеют координаты (0;0) и (10;24). Значит,
Приведём к виду y = kx + b
Угловые коэффициенты параллельных прямых равны. Значит, уравнение прямой, проходящей через точку В(10;12) имеет вид:
Значение b найдём подставив в это уравнение координаты точки В(10;12):
Получили уравнение прямой:
Чтобы найти ординату точки пересечения этой прямой с осью оу нужно подставить в найденное уравнение х = 0:
*Самый простой способ решения. При помощи параллельного переноса сдвигаем данную прямую вниз вдоль оси оу до точки (10;12). Сдвиг происходит на 12 единиц, то есть точка А(10;24) «перешла» в точку В(10;12), а точка О(0;0) «перешла» в точку (0;–12). Значит, полученная прямая будет пересекать ось оу в точке (0;–12).
Искомая ордината равна –12.
Ответ: –12
Найдите ординату точки пересечения прямой, заданной уравнением
3х + 2у = 6, с осью Oy.
Координата точки пересечения заданной прямой с осью оу имеет вид (0;у). Подставим в уравнение абсциссу х = 0, и найдём ординату:
Ордината точки пересечения прямой с осью оу равна 3.
*Решается система:
Ответ: 3
Найдите ординату точки пересечения прямых, заданных уравнениями
3х + 2у = 6 и у = – х.
Когда заданны две прямые, и стоит вопрос о нахождении координат точки пересечения этих прямых, решается система из данных уравнений:
В первом уравнении подставляем – х вместо у:
Ордината равна минус шести.
Ответ: – 6
Найдите угловой коэффициент прямой, проходящей через точки с координатами (–2;0) и (0;2).
Найдите угловой коэффициент прямой, проходящей через точки с координатами (2;0) и (0;2).
Прямая a проходит через точки с координатами (0;4) и (6;0). Прямая b проходит через точку с координатами (0;8) и параллельна прямой a. Найдите абсциссу точки пересечения прямой b с осью Ox.
Прямая a проходит через точки с координатами (0;4) и (–6;0). Прямая b проходит через точку с координатами (0; –6) и параллельна прямой a. Найдите абсциссу точки пересечения прямой b с осью Ox.
Найдите ординату точки пересечения оси оy и прямой, проходящей через точку B (6;4) и параллельной прямой, проходящей через начало координат и точку A (6;8).
Найдите абсциссу точки пересечения прямой, заданной уравнением 2х + 2у = 6, с осью ох.
Найдите абсциссу точки пересечения прямых, заданных уравнениями 3х + 2у = 6 и у = х.
Конечно, некоторые задачи, которые мы рассмотрели можно было решить более рациональными способами. Но ставилась цель показать разные подходы к решению. Надеюсь, это удалось.
1. Необходимо чётко усвоить, что угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла наклона прямой. Это поможет вам при решении многих задач данного типа.
2. Формулу нахождения прямой проходящей через две данные точки нужно понимать обязательно. С её помощью всегда найдёте уравнение прямой, если даны координаты двух её точек.
3. Помните о том, что угловые коэффициенты параллельных прямых равны.
4. Как вы поняли, в некоторых задачах удобно использовать признак подобия треугольников. Задачи решаются практически устно.
5. Задачи в которых даны две прямые и требуется найти абсциссу или ординату точки их пересечения можно решить графическим способом. То есть, построить их на координатной плоскости (на листе в клетку) и определить точку пересечения визуально. *Но этот способ применим не всегда.
6. И последнее. Если дана прямая и координаты точек её пересечения с осями координат, то в таких задачах удобно находить угловой коэффициент через нахождение тангенса угла в образованном прямоугольном треугольнике. Как «увидеть» этот треугольник при различных расположениях прямых на плоскости схематично показано ниже:
>> Угол наклона прямой от 0 до 90 градусов <<
>> Угол наклона прямой от 90 до 180 градусов <<
В данных двух случаях, по свойству тангенса:
То есть, чтобы найти уголвой коэффициент прямой, необходимо вычислить тангенс бетта в полученном прямоугольном треугольнике и записать результат с отрицательным знаком.
В данной рубрике продолжим рассматривать задачи, не пропустите!
На этом всё. Успеха Вам!
С уважением, Александр.
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
