Дана окружность радиус которой равен 5, проведена хорда AB = 8. Точка C лежит на хорде AB так, что AC:BC=1:2. Найдите радиус окружности, касающейся данной окружности и касающейся хорды AB в точке C.
Выполним построение. Строим окружность, центр О, хорду АВ. Отмечаем точку С. Пусть E — проекция центра O данной окружности на хорду AB. Тогда E – будет делить AB пополам (АЕ=ЕВ). Построим прямоугольник CEOF.
При пересечении прямой CF радиусом OD всегда найдется такая точка, которая будет равноудалена от построенной окружности и точки С, то есть будет являться центром искомой окружности. Отобразим:
Обратим внимание, что возможна еще одна окружность при данных условиях. То есть при пересечении радиусом OD прямой CF всегда найдется такая точка, которая будет еще одним центром окружности:
Произведем вычисление:
Если искомая окружность с центром Q и радиусом r касается данной в точке D, то
Так как OFCE — прямоугольник, поэтому
Рассмотрим случай (рисунок 1), когда точки O и Q лежат по разные стороны от прямой AB, тогда
Используя теорему Пифагора можем составить уравнение:
Рассмотрим второй случай (рисунок 2), точки O и Q лежат по одну сторону от прямой AB, то аналогично получим уравнение:
Ответ: 8/9 и 32/9
У данной задачи существуют еще пути решения, но это самое простое и лаконичное.
Учитесь с удовольствием!
С уважением, Александр.
