Квадратное уравнение – решается просто! *Далее в тексте «КУ». Друзья, казалось бы, что может быть в математике проще, чем решение такого уравнения. Но что-то мне подсказывало, что с ним у многих есть проблемы. Решил посмотреть сколько показов по запросу в месяц выдаёт Яндекс. Вот что получилось, посмотрите:
Что это значит? Это значит то, что около 70000 человек в месяц ищут данную информацию, при чём это лето, а что будет среди учебного года — запросов будет в два раза больше. Это и неудивительно, ведь те ребята и девчата, которые давно окончили школу и готовятся к ЕГЭ, ищут эту информацию, также и школьники стремятся освежить её в памяти.
Несмотря на то, что есть масса сайтов, где рассказывается как решать это уравнение, я решил тоже внести свою лепту и опубликовать материал. Во-первых, хочется чтобы по данному запросу и на мой сайт приходили посетители; во-вторых, в других статьях, когда зайдёт речь «КУ» буду давать ссылку на эту статью; в-третьих, расскажу вам о его решении немного больше, чем обычно излагается на других сайтах. Приступим! Содержание статьи:
Дискриминант отрицательный. Решение есть!
Неполные квадратные уравнения.
Полезные свойства и закономерности коэффициентов.
Квадратное уравнение – это уравнение вида:
где коэффициенты a,b и с произвольные числа, при чём a≠0.
В школьном курсе материал дают в следующем виде – условно делается разделение уравнений на три класса:
1. Имеют два корня.
2. *Имеют только один корень.
3. Не имеют корней. Здесь стоит особо отметить, что не имеют действительных корней
Пусть пока будет так. *Далее поясню, некорректность второго пункта.
Как вычисляются корни? Просто!
Вычисляем дискриминант. Под этим «страшным» словом лежит вполне простая формула:
Формулы корней имеют следующий вид:
*Эти формулы нужно знать наизусть.
Можно сразу записывать и решать:
Пример:
Далее не трудно заметить, что число корней зависит от этого самого дискриминанта:
1. Если D > 0, то уравнение имеет два корня.
2. Если D = 0, то уравнение имеет один корень.
3. Если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней.
Давайте рассмотрим уравнение:
По данному поводу, когда дискриминант равен нулю, в школьном курсе говорится о том, что получается один корень, здесь он равен девяти. Всё правильно, так и есть, но…
Данное представление несколько несколько некорректно. На самом деле получается два корня. Да-да, не удивляйтесь, получается два равных корня, и если быть математически точным, то в ответе следует записывать два корня:
х1= 3 х2= 3
Но это так – небольшое отступление. В школе можете записывать и говорить, что корень один.
Теперь следующий пример:
Как нам известно – корень из отрицательного числа не извлекается, поэтому решения в данном случае нет.
Вот и весь процесс решения.
Здесь показано, как решение выглядит геометрически. Это крайне важно понимать (в дальнейшем в одной из статей мы подробно будем разбирать решение квадратного неравенства).
Это функция вида:
где х и у — переменные
a, b, с – заданные числа, при чём a ≠ 0
Графиком является парабола:
То есть, получается, что решая квадратное уравнение при «у» равном нулю мы находим точки пересечения параболы с осью ох. Этих точек может быть две (дискриминант положительный), одна (дискриминант равен нулю) и ни одной (дискриминант отрицательный). Подробно о квадратичной функции можете посмотреть статью у Инны Фельдман.
Рассмотрим примеры:
Пример 1: Решить 2x2+8x–192=0
а=2 b=8 c= –192
D = b2–4ac = 82–4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600
Ответ: х1= 8 х2= –12
*Можно было сразу же левую и правую часть уравнения разделить на 2, то есть упростить его. Вычисления будут проще.
Пример 2: Решить x2–22x+121 = 0
а=1 b=–22 c=121
D = b2–4ac =(–22)2–4∙1∙121 = 484–484 = 0
Получили, что х1= 11 и х2= 11
В ответе допустимо записать х = 11.
Ответ: х = 11
Пример 3: Решить x2–8x+72 = 0
а=1 b= –8 c=72
D = b2–4ac =(–8)2–4∙1∙72 = 64–288 = –224
Дискриминант отрицательный, решения в действительных числах нет.
Ответ: решения нет
Дискриминант отрицательный. Решение есть!
Здесь речь пойдёт о решении уравнения в случае когда получается отрицательный дискриминант. Вы что-нибудь знаете о комплексных числах? Не буду здесь подробно рассказывать о том, почему и откуда они возникли и в чём их конкретная роль и необходимость в математике, это тема для большой отдельной статьи.
Понятие комплексного числа.
Рекомендация: не пытайтесь представить комплексное число в реальной жизни, это всё равно, что представить бесконечность, четвёртое измерение или что-то сверх нашего сознания.
Немного теории.
Комплексным числом z называется число вида
z = a + bi
где a и b – действительные числа, i – так называемая мнимая единица.
a+bi – это ЕДИНОЕ ЧИСЛО, а не сложение.
Мнимая единица равна корню из минус единицы:
Теперь рассмотрим уравнение:
Получили два сопряжённых корня.
Неполное квадратное уравнение.
Рассмотрим частные случаи, это когда коэффициент «b» или «с» равен нулю (или оба равны нулю). Они решаются легко без всяких дискриминантов.
Случай 1. Коэффициент b = 0.
Уравнение приобретает вид:
Преобразуем:
Пример:
4x2–16 = 0 => 4x2 =16 => x2 = 4 => x1 = 2 x2 = –2
Случай 2. Коэффициент с = 0.
Уравнение приобретает вид:
Преобразуем, раскладываем на множители:
*Произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
Пример:
9x2–45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 или x–5 =0
x1 = 0 x2 = 5
Случай 3. Коэффициенты b = 0 и c = 0.
Здесь понятно, что решением уравнения всегда будет х = 0.
Полезные свойства и закономерности коэффициентов.
Есть свойства, которые позволяют решить уравнения с большими коэффициентами.
— если для коэффициентов уравнения аx2+bx+c=0 выполняется равенство
a + b + с = 0, то
— если для коэффициентов уравнения аx2+bx+c=0 выполняется равенство
a + с = b, то
Данные свойства помогают решить определённого вида уравнения.
Пример 1: 5001x2–4995x – 6=0
Сумма коэффициентов равна 5001+(– 4995)+(– 6) = 0, значит
Пример 2: 2501x2+2507x+6=0
Выполняется равенство a + с = b, значит
Закономерности коэффициентов.
1. Если в уравнении ax2 + bx + c = 0 коэффициент «b» равен (а2 +1), а коэффициент «с» численно равен коэффициенту «а», то его корни равны
аx2 + (а2 +1)∙х+ а= 0 = > х1= –а х2= –1/a.
Пример. Рассмотрим уравнение 6х2 +37х+6 = 0.
х1= –6 х2= –1/6.
2. Если в уравнении ax2 – bx + c = 0 коэффициент «b» равен (а2 +1), а коэффициент «с» численно равен коэффициенту «а», то его корни равны
аx2 – (а2 +1)∙х+ а= 0 = > х1= а х2= 1/a.
Пример. Рассмотрим уравнение 15х2 –226х +15 = 0.
х1= 15 х2= 1/15.
3. Если в уравнении ax2 + bx – c = 0 коэффициент «b» равен (a2 – 1), а коэффициент «c» численно равен коэффициенту «a», то его корни равны
аx2 + (а2 –1)∙х – а= 0 = > х1= – а х2= 1/a.
Пример. Рассмотрим уравнение 17х2 +288х – 17 = 0.
х1= – 17 х2= 1/17.
4. Если в уравнении ax2 – bx – c = 0 коэффициент «b» равен (а2 – 1), а коэффициент с численно равен коэффициенту «а», то его корни равны
аx2 – (а2 –1)∙х – а= 0 = > х1= а х2= – 1/a.
Пример. Рассмотрим уравнение 10х2– 99х –10 = 0.
Теорема Виета.
Теорема Виета называется по имени знаменитого французского математика Франсуа Виета. Используя теорему Виета, можно выразить сумму и произведение корней произвольного КУ через его коэффициенты.
Теорема: Пусть квадратное уравнение aх2 + bx + c = 0 имеет корни х1 и х2, тогда справедливы формулы Виета
Доказательство:
Пример. Рассмотрим уравнение х2 – 14х + 45 = 0. Запишем a=1 b= –14 c=45.
Ответ определить несложно, возможны следующие варианты произведений
45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.
В сумме число 14 дают только 5 и 9. Это корни. При определённом навыке, используя представленную теорему, многие квадратные уравнения вы сможете решать сходу устно.
Теорема Виета, кроме того. удобна тем, что после решения квадратного уравнения обычным способом (через дискриминант) полученные корни можно проверять. Рекомендую это делать всегда.
СПОСОБ ПЕРЕБРОСКИ
При этом способе коэффициент «а» умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.
Если а ± b+c ≠ 0, то используется прием переброски, например:
2х2 – 11х+5 = 0 (1) => х2 – 11х+10 = 0 (2)
По теореме Виета в уравнении (2) легко определить, что х1 = 10 х2 = 1
Полученные корни уравнения необходимо разделить на 2 (так как от х2 «перебрасывали» двойку), получим
х1 = 5 х2 = 0,5.
Каково обоснование? Посмотрите что происходит.
Дискриминанты уравнений (1) и (2) равны:
Если посмотреть на корни уравнений, то получаются только различные знаменатели, и результат зависит именно от коэффициента при х2:
У второго (изменённого) корни получаются в 2 раза больше.
Потому результат и делим на 2.
*Если будем перебрасывать тройку, то результат разделим на 3 и т.д.
Ответ: х1 = 5 х2 = 0,5
О его важности скажу кратко – ВЫ ДОЛЖНЫ УМЕТЬ РЕШАТЬ быстро и не задумываясь, формулы корней и дискриминанта необходимо знать наизусть. Очень многие задачи, входящие в состав заданий ЕГЭ, сводятся к решению квадратного уравнения (геометрические в том числе).
Что стоит отметить!
1. Форма записи уравнения может быть «неявной». Например, возможна такая запись:
15+ 9x2- 45x = 0 или 15х+42+9x2- 45x=0 или 15 -5x+10x2 = 0.
Вам необходимо привести его к стандартному виду (чтобы не запутаться при решении).
2. Помните, что х это неизвестная величина и она может быть обозначена любой другой буквой – t, q, p, h и прочими.
3. Если получите большой дискриминант, то посмотрите как можно извлечь такой корень без калькулятора.
На этом всё. Надеюсь, статья была для вас полезной.
Получить материал статьи в формате PDF
С уважением, Александр Крутицких.
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
Огромное спасибо. Информация действительно легко усваивается. По этому пособию гораздо проще подготовиться к экзамену. Все понятно и доступно.
Действительно всё понятно, легко и ясно! Огромное спасибо!
В примере с комплексными числами ошибка: корень из (-20) надо разделить на 2, будет корень из (-5).
Спасибо, поправил )
Спасибо! Помогло!
🙂
для чего КОНКРЕТНО нужны квадратные уравнения, нас уверяют «в общем» что и в строительстве и спорте(без спорта можно обойтись,так что спорт -) еще и еще где-то. Но не нашел ни одного учителя , который бы на конкретном ,действительно реальном жизненном проекте показал , что вот ведь, нужно знать и решать для такого вида задач... Почему не разрабатывать с учениками такие жизненные проекты , тогда и будет смысл изучать синусы и параболы и квадратные уравнения , а пока просто гимнастика для ума, но в этом случае кроссворды полезнее )
Открою «СЕКРЕТ» — без обучения в школе и вообще без базовых знаний можно прожить вполне счастливую жизнь. Можно не учиться в школе. И спортом можно не заниматься — ведь и без него можно прожить и много ещё без чего.