Синус 36 градусов. Ранее мы рассмотрели как выразить синус угла 15 и 75 градусов, также косинус, тангенс и котангенс. Такие задания рассматриваются в школьном курсе математике. Но как выразить значения углов 30, 60, 90, 120, 180, 240, 360, 480, 540, 720? Это можно сделать. Здесь мы рассмотрим углы 180, 360, 540 и 720. Начнём с 180, рассмотрим два способа. Кстати, ссылка для скачивания материала статьи находится внизу.
Построим равнобедренный треугольник АВС с углом при вершине равным 360. Углы при основании будут равны 720, так же построим биссектрису угла А:
Получим, что треугольники ABС и CAD равнобедренные. Кроме того, они подобны (первый признак подобия – по двум углам). Далее в указанных равнобедренных треугольниках построим биссектрисы AE и DF:
*Известно, что в равнобедренном треугольнике биссектриса проведённая к его основанию является медианой и высотой. Значит треугольники DFB, DFA, AED, AEC прямоугольные и AF=FB, DE=EC.
Обозначим АС=a, тогда АС=AD=BD=a. В треугольнике BFD:
Следовательно:
Рассмотрим треугольник АЕС:
Далее можем записать:
Получили квадратное уравнение, заменим sin180=x и решим:
Дискриминант равен √5. Корни равны:
Нас интересует положительное значение, так как sin180>0. Вычисляем косинус 18 градусов:
Вычислим тангенс и котангенс:
Синус 36 градусов. Формула синуса двойного аргумента:
А также косинус, тангенс и котангенс. Косинус двойного аргумента:
Используя формулы приведения можем записать значения углов для 540 и 720:
Можно внести данные в таблицу для наглядности:
Cинус 9 градусов. Формула половинного аргумента:
Косинус 9 градусов. Формула:
Тангенс и котангенс:
Из формулы приведения синуса можем записать:
Выразим cos720:
Можем записать:
Заменим sin4180 на х, получим:
Решением уравнения будут корни:
Так как синус 18 градусов есть величина положительная и неравная единице, то:
Далее уже можно выразить углы 360, 54,0 720.
Скачать материал статьи в формате PDF
С уважением, Александр Крутицких.
