Доказательство теоремы Пифагора. Здравствуйте! Теорема эта известна с давних древних времён. И, справедливости ради, стоит сказать, что не Пифагор открыл, выявил и обнаружил данную геометрическую связь в прямоугольном треугольнике. Это и понятно из простого здравого смысла.
Ещё за долго до рождения Пифагора были построены пирамиды в Египте, и не только там, но и в Китае и многих других местах земли. И, разумеется, сеё факт был известен всем строителям и землемерам древности. Заслуга Пифагора в том, что он её задокументировал и далее передал потомкам.
В той статье мы с вами рассмотрим два доказательства: одно из них даётся в школьном курсе математики, другое показывает геометрическое – показывается соответствие площадей квадратов построенных на сторонах треугольника (с ним учеников знакомят далеко не везде). Вы наглядно без лишнего формализма увидите почему квадрат большей стороны прямоугольного треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон.
Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы в прямоугольном треугольнике равен сумме квадратов катетов.
Доказательство первое.
Представим прямоугольный треугольник следующим образом — построим квадрат, в него впишем (произвольно) ещё один квадрат так что его вершины будут лежать на сторонах первого квадрата. Получим четыре равных прямоугольных треугольника. Обозначим катеты треугольников соответственно как a и b:
Выразим площадь большего квадрата:
Также она равна сумме четырёх треугольников и квадрата со стороной с:
Можем записать:
Теорема доказана.
Второе доказательство.
Так как «квадрат стороны треугольника» геометрически это квадрат сторона которого равна стороне указанного треугольника, то построим квадраты на катетах и гипотенузе треугольника:
Нам нужно показать, что площадь квадрата построенного на гипотенузе равна сумме площадей квадратов построенных на катетах.
Выполним дополнительные построения. Каким образом? Сначала строим квадрат симметричный квадрату построенному на большем катете (он показан серым цветом), а затем остальные элементы:
Определим равные элементы. Для наглядности используем цвета:
*Треугольник «3+8» мы разделили таким образом, что сторона четырёхугольника «8» равна стороне квадрата построенного на малом катете.
Теперь внимание!
«Уложим» квадрат «1» на квадрат построенный на гипотенузе.
Площадь квадрата «1» равна площади квадрата «10+9+2». Фигура «2» заняла часть квадрата построенного на гипотенузе.
Треугольник «10» равен треугольнику «4» (признак равенства – по гипотенузе и острому углу).
Треугольник «9» равен треугольнику «3» (по катету и острому углу).
Итак! Квадрат «1» мы уместили.
Осталось показать равенство площади квадрата «6+5» сумме площадей фигур «8» и «7».
Треугольник «6» равен треугольнику «7» (по катету и строму углу).
Четырёхугольник «5» равен четырёхугольнику «8», так как площадь фигуры «8» равна площади фигуры «11», а её площадь равна площади фигуры «5».
Что и требовалось показать.
*Дополнительные построения можно выполнить и другим образом, вариантов несколько.
Рассмотрим частный случай – катеты треугольника равны:
Здесь всё видно без лишних объяснений.
На этом всё. Учитесь с удовольствием!
С уважением, Александр.
*Делитесь информацией в социальных сетях!
