Подготовка к ЕГЭ по математике 2017 бесплатно!
Программируемые LEGO конструкторы! Посмотреть!

Два пешехода отправляются одновременно

Мы уже рассматривали задачи на прямолинейное движение. В этой статье продолжим тему. Есть такой тип задач, где речь идёт о движении двух объектов относительно друг друга. Ещё их называют – задачи на параллельное движение. Особенного в них ничего нет, при решении используется одна и та же формула – расстояние равно скорость умножить на время:

Но нюансы имеются, приступим.

По морю параллельными курсами в одном направлении следуют два сухогруза: первый длиной 160 метров, второй — длиной 140 метров. Сначала второй сухогруз отстает от первого, и в некоторый момент времени расстояние от кормы первого сухогруза до носа второго составляет 300 метров. Через 9 минут после этого уже первый сухогруз отстает от второго так, что расстояние от кормы второго сухогруза до носа первого равно 900 метрам. На сколько километров в час скорость первого сухогруза меньше скорости второго?

На первый взгляд условие очень запутано, может возникнуть мысль,  не пропустить ли эту задачу на ЕГЭ. Обязательно сделайте эскиз. Обозначаем известные величины – длины сухогрузов и расстояния между ними, наглядность в подобных задачах очень помогает. Фиолетовым цветом обозначаем исходную позицию,  синим – конечную. Величины записываем в километрах.

Вы знаете, что в большинстве задач на движение, как правило, скорость принимают за х. Но у нас два транспортных средства, и найти нужно разность их скоростей. Поэтому примем скорость первого сухогруза за х (км/ч), второго за у (км/ч).

Время, которое двигались сухогрузы одинаковое 9 минут, переведём  минуты в часы: 9 минут это 9/60 часа или 0,15. На рисунке также обозначаем расстояние, которое прошёл первый: время умножаем на скорость, получается 0,15х.

Теперь можем заполнить таблицу (её мы составляем всегда в задачах на движение)  и графу «расстояние» в ней:

Подсчитаем по эскизу расстояние, на которое  второй уйдёт вперёд. Считать будем с кормы (задней части), при чём метры переведём в километры:

0,140+0,300+0,15х+0,160+0,900 = 0,15х+1,5

Теперь мы можем приравнять расстояние пройденное вторым (полученное и табличное):

Как видим, в данной задаче совсем не обязательно находить сами скорости, достаточно найти их разность, что мы и сделали.

Можно было упростить условие  –  принять скорость первого сухогруза за 0 км/ч (стоит на месте), скорость второго обозначить любой переменной, оставим у. Заполняем таблицу:

Сделаем эскиз:

Можем вычислить на сколько второй переместился относительно первого:

0,140 + 0,300 + 0,160 + 0,900 =  1,5 километра (за 0,15 часа).

С другой стороны имеем, что второй прошёл расстояние в 0,15у (из таблицы). Таким образом, составляем уравнение:

 1,5у = 1,5   =>   у = 10 км/ч

Теперь остаётся найти только разность скоростей:

у – х = 10 – 0 = 10

Как видите, при хорошей практике задачу можно решить практически устно посмотрев на эскиз.

Ответ: 10

Решите самостоятельно:

По морю параллельными курсами в одном направлении следуют два сухогруза: первый длиной 120 метров, второй — длиной 80 метров. Сначала второй сухогруз отстает от первого, и в некоторый момент времени расстояние от кормы первого сухогруза до носа второго составляет 400 метров. Через 12 минут после этого уже первый сухогруз отстает от второго так, что расстояние от кормы второго сухогруза до носа первого равно 600 метрам. На сколько километров в час скорость первого сухогруза меньше скорости второго?

Посмотреть решение

 

По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют пассажирский и товарный поезда, скорости которых равны соответственно 50 км/ч и 30 км/ч. Длина товарного поезда равна 1000 метрам. Найдите длину пассажирского поезда, если время, за которое он прошел мимо товарного поезда, равно 4 минутам 3 секундам. Ответ дайте в метрах.

Пассажирский (скорость 50 км/ч) следует в одном направлении с товарным (скорость 30 км/ч) и обгоняет его. Так как они следуют в одном направлении, получается, что пассажирский относительно товарного проезжает мимо него со скоростью 20 км/ч. То есть это тоже самое, как если бы товарный стоял на месте, а пассажирский проехал мимо него со скоростью 20 км/ч.

Предлагаю при решении подобных задач условие интерпретировать именно так, суть задачи не изменится. Итак, имеем: скорость товарного  0 км/ч, пассажирского 20 км/ч (это относительная скорость).

Переведём минуты в часы: 4 минуты 3 секунды это 243 секунды. В часе 3600 секунд. Поэтому 4 минуты 3 секунды это

За 243/3600 часа пассажирский со скоростью 20 км/ч пройдёт

Сделаем эскиз:

Таким образом длина пассажирского поезда равна:

1,35 – 1 = 0,35 километра

Понятно, что 0,35 километра это 350 метров. Если есть трудности с переводом, то вам всегда поможет пропорция.

Переведём километры в метры, составим пропорцию:

1 километр соответствует  1000 метрам.

0,35 километра  соответствует х метрам.

Записываем:

1 км      –   1000 м

0,35 км –     х  м

Ответ: 350

*Отметим, что если в задаче будет сказано, что транспортные средства двигаются навстречу друг другу, то тогда приняв  за  ноль скорость одного из них, скорость другого (относительная скорость)  будет равна сумме скоростей.

Например, составы движутся навстречу друг другу со скоростями 120 и 150 км/ч, понятно, что один  относительно  другого будет передвигаться со скоростью 270 км/ч.

Решите самостоятельно:

По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют пассажирский и товарный поезда, скорости которых равны соответственно 90 км/ч и 30 км/ч. Длина товарного поезда равна 600 метрам. Найдите длину пассажирского поезда, если время, за которое он прошел мимо товарного поезда, равно 1 минуте. Ответ дайте в метрах.

Посмотреть решение

 

Два пешехода отправляются одновременно в одном направлении из одного и того же места на прогулку по аллее парка. Скорость первого на 0,5 км/ч больше скорости второго. Через сколько минут расстояние между пешеходами станет равным 300 метрам?

В этой  задаче не дано ни время движения, ни скорости пешеходов, ни расстояние, которое они прошли. Рекомендую сразу обратить внимание на то, что дана разница пройденных расстояний, поэтому сравнение необходимо производить по расстоянию.

Итак, искомую величину (в данном случае время, через которое расстояние станет равным 300 метров) примем за х часов. Скорость первого пешехода обозначим у (км/ч), тогда скорость второго будет у+0,5 км/ч.

Занесем скорость и время в таблицу. Заполняем графу «расстояние»:

Так как скорость второго больше, значит именно он пройдёт на 300 метров больше. Получили, что первый пройдёт ух км/ч, второй (у+0,5)х км/ч. При чём второй пройдёт на 300 метров больше.

*Незабываем перевести метры в километры 300м = 0,3 км. Значит:

Получили, что расстояние между пешеходами станет равным 300 метрам через  0,6  часа, в минутах это  0,6∙60 = 36 минут. Можно составить пропорцию и перевести часы в минуты с её помощью.

Заметьте,  что скорость, с которой двигались пешеходы, не играет роли. При разнице их скоростей в 0,5 км/ч, расстояние между ними через 9 минут станет 300 метров.

*Вообще здесь для упрощения условия также можно принять скорость одного из объектов за ноль км/ч (стоит на месте).Это можно делать в задачах – при параллельном  движении пешеходов, поездов, теплоходов и прочих объектов. Смотрите, как преобразится задача.

Итак, искомую величину (время, через которое расстояние станет равным 300 метров) примем за х часов. Скорость первого пешехода обозначим 0 км/ч (он остаётся на месте), тогда скорость второго 0,5 км/ч, так как по условию она на 0,5 км/ч больше.

Занесем скорость и время в таблицу. Заполняем графу «расстояние»:

Так как расстояние между ними через х часов будет 0,3 км, то уравнение приобретает вид:

0,5х = 0,3    = >   х = 0,6       =>   0,6 часа это 36 минут.

Ответ: 36

Решите самостоятельно:

Два пешехода отправляются одновременно в одном направлении из одного и того же места на прогулку по аллее парка. Скорость первого на 1,5 км/ч больше скорости второго. Через сколько минут расстояние между пешеходами станет равным 300 метрам?

Посмотреть решение

Подведём итог:

1. Используем основную формулу S = v∙t.

2. Составляем таблицу.

3. Не забываем при расчётах о переводе единиц измерения.

4. Учитываем в каких единицах требуется записать ответ.

Отмечу, что все представленные задачи можно решить другими способами. Не утверждаю, что их надо решать именно так, как представлено выше. Важно, чтобы вы научились размышлять, уметь делать выводы из поставленного условия, сопоставлять данные.

Надеюсь, вы нашли для себя что-то новое и полезное. В будущем мы обязательно рассмотрим ещё одну задачу на прямолинейное движение. Её считаю самой сложной (относительно других), поэтому стоит рассмотреть отдельно, не пропустите! До связи!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.


Подготовка к ОГЭ по математике. Полный курс!

Школа репетиторов Анны Малковой. Супер тренинг!

Онлайн-обучение, подготовка к ЕГЭ и ОГЭ по предметам!

50 базовых упражнений лечебной физкультуры!

Отзывов (2)
  1. Ольга

    Спасибо!

  2. Абитуриентка

    Спасибо!Доходчиво объясняете!Вашим ученикам повезло с учителем!

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

*