Подготовка к ЕГЭ по математике 2017 бесплатно!
Программируемые LEGO конструкторы! Посмотреть!

Теплоход проходит по течению реки


Задачи на движение по воде

.
В состав ЕГЭ по математике включёна целая группа задач, относящаяся к задачам на движение — это задачи на движение по воде. Задачи несложные, решаются по той же формуле. Мы уже рассматривали с вами задачи на движение «Задачи на прямолинейное движение. Часть 1» и другие.  Принципы те же. Используется основная формула:

Но в задачах на движение по воде (по реке), добавляется лишь небольшое условие. Необходимо учитывать скорость течения реки. Скорость судна определяется следующим образом:

Если плыть по течению реки, то к скорости судна в неподвижной воде необходимо прибавить скорость течения.

Если плыть против течения, то из скорости судна в неподвижной воде необходимо вычесть скорость течения.

Так же необходим навык быстрого решения квадратного уравнения. На самом ЕГЭ это сэкономит ваше время. Иногда требуется извлечь корень из большого числа, по этому поводу изучите статью «Извлекаем корень из большого числа».

Рассмотрим задачи:

От пристани А к пристани В отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 2 часа после этого следом за ним со скоростью, на 2 км/ч большей, отправился второй. Расстояние между пристанями равно 168 км. Найдите скорость первого теплохода, если в пункт В оба теплохода прибыли одновременно. Ответ дайте в км/ч.

Примем скорость первого теплохода за х км/ч. Тогда  скорость второго теплохода  равна х + 2 (км/ч). 

Расстояние оба проехали  одинаковое  —  168 километров.

Осталось записать время.

Поскольку t = S/v,  то первый затратит 168/х  часов, а второй 168/(х + 2) часов.

Сказано, что через два часа после отправления первого, в путь отправился второй, то есть  он затратил время на движение на два часа меньше:

Умножаем левую и правую части на х(х + 2)

Решаем квадратное уравнение:

Скорость есть величина положительная, значит, она равна  12 (км/ч).

Ответ: 12

*В этой задаче понятия «скорость течения» отсутствует и она от задач на движение по суше практически ничем не отличается.

Решите самостоятельно:

Посмотреть решение

Моторная лодка прошла против течения реки 120 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Пусть скорость лодки в неподвижной воде равна х.

Тогда скорость движения моторки по течению равна х + 1, а скорость, с которой она движется против течения х – 1.

Расстояние и в ту, и в другую сторону одинаково и равно 120 км.

Занесем скорость и расстояние в таблицу.

Заполняем графу «время».

При движении по течению затраченное на путь время равно 120/(х + 1), при движении против течения  120/(х – 1).  

Причем  120/(х + 1)  на  2 часа меньше, чем  120/(х – 1).  

Да это и логично, что время на движение по течению реки затрачивается меньше.

Таким образом:

Это уравнение имеет два корня:  х1 = 11  х2 = –11 (оба этих числа при возведении в квадрат дают 121). Но, конечно же, отрицательный ответ не подходит  — скорость лодки должна быть положительной:  11 км/ч

Ответ: 11

Решите самостоятельно:

Посмотреть решение

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 560 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 4 км/ч, стоянка длится 8 часа, а в пункт отправления теплоход возвращается через 56 часа после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

Пусть скорость теплохода в неподвижной воде равна x (км/ч). Всего теплоход затрачивает 56 часа (на весь путь: туда, два часа стоянки, обратно). То есть: 

56 (ПО ТЕЧЕНИЮ)+(СТОЯНКА)+(ПРОТИВ ТЕЧЕНИЯ)

Скорость движения теплохода по течению равна х+4 (км/ч), а скорость  против течения х – 4 (км/ч).

Расстояние и в ту, и в другую сторону одинаково и равно 560 км.

Занесем скорость и расстояние в таблицу. Заполняем графу «время».

Время, затраченное на путь до пункта назначения 560/(х + 4),

Время, затраченное на путь обратно (против течения) 560/(х – 4).

Таким образом, скорость теплохода в неподвижной воде равна 24 км/ч.

Ответ: 24

Как извлекать корень из большого числа без калькулятора можно посмотреть здесь.

Решите самостоятельно:

Посмотреть решение

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 459 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 22 км/ч, стоянка длится 10 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 54 часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

Скорость течения реки как искомую величину принимаем за x (км/ч).

Тогда скорость движения теплохода по течению равна 22 + х (км/ч), а его скорость  против течения  22 – х.

Расстояние  в ту, и в другую сторону одинаковое и равно 459 км.

Всего теплоход затрачивает 54 часов (на весь путь: туда, 10 часов стоянки, обратно). То есть:

54 (ПО ТЕЧЕНИЮ)+(СТОЯНКА)+( ПРОТИВ ТЕЧЕНИЯ)

Расстояние и в ту, и в другую сторону одинаково и равно 459 км.

Занесем скорость и расстояние в таблицу. Заполняем графу «время».

Время, затраченное на путь до пункта назначения 459/(22+х),

Время, затраченное на путь обратно (против течения) 459/(22–х).

Подставляем данные  и получаем уравнение:

Мы не будем подробно останавливаться на технике решения уравнения.  Всё  понятно  —  раскрываем  скобки,  складываем  подобные  члены.

Получаем квадратное уравнение: х2  = 25.

Его решением являются корни –5 и 5.

Поскольку скорость течения положительна, значит она равна 5 (км/ч).

Ответ: 5

Решить самостоятельно:

Посмотреть решение

Моторная лодка в 9:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 15 км от А. Пробыв в пункте «В» 2 часа, лодка отправилась назад и вернулась в пункт А в 19:00 того же дня. Определите (в км/ч) собственную скорость лодки, если известно, что скорость течения реки 1 км/ч.

В данной задаче  несказанно, сколько лодка затратила время на путь (дан временной отрезок пути), и время стоянки.

Определим время нахождения лодки в пути 19 – 9 = 10 (часов).

Время стоянки  2 часа.

Пусть скорость лодки  в неподвижной воде равна x (км/ч).

Тогда скорость движения  по течению равна х+1 (км/ч), а скорость  против течения х–1 (км/ч).

Расстояние и в ту, и в другую сторону одинаково и равно 15 км.

Всего время нахождения лодки  в пути 10 часов (на весь путь: туда, 2 часа стоянка, обратно). То есть: 

10 (ПО ТЕЧЕНИЮ)+(СТОЯНКА)+(ПРОТИВ ТЕЧЕНИЯ)

Занесем скорость и расстояние в таблицу. Заполняем графу «время».

Время, затраченное на путь до пункта назначения  15/(х+1),

Время, затраченное на путь обратно (против течения) 15/(х–1).

Составляем уравнение:

Не забываем, что скорость величина положительная.

Таким образом, собственная скорость лодки в неподвижной воде будет 4 (км/ч).

Конечно, для моторной лодки такая скорость маловата в реальной жизни, но будем считать, что это старая  лодка с изношенным еле работающем двигателем (шучу).

Ответ: 4

Решите самостоятельно:

Посмотрите решение

Что ещё хотелось бы добавить. Если в задачах, когда речь идёт о времени и сказано, что один участник движения затратил на столько-то часов больше (меньше), вы всё-таки, не можете понять, как записать выражение. Например, в первой рассмотренной задаче:

то есть, не можете определить — как и к чему прибавить (вычесть) двойку, то поступайте просто: ставьте любой знак и решайте.

В случае, если знак поставлен верно, задача решится. Если неверно, то вы получите отрицательный дискриминант при решении квадратного уравнения, то есть задача будет неразрешима. В этом случае просто меняйте знак на противоположный и всё, задача решится.

Я не призываю бездумно использовать данный подход всегда в подобных задачах. Это совет на случай, если вы в тупике при решении или на самом ЕГЭ запутались, всё-таки психологическая нагрузка.

На этом всё. На десерт позитивное видео.

Успехов Вам!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.


Подготовка к ОГЭ по математике. Полный курс!

Школа репетиторов Анны Малковой. Супер тренинг!

Онлайн-обучение, подготовка к ЕГЭ и ОГЭ по предметам!

50 базовых упражнений лечебной физкультуры!

Отзывов (6)
  1. Бота

    Я все прочла и пролазила не один сайт. но не могу решить задачу. Пожалуйста помогите!

    Туристы отправились на моторной лодке по течению реки и должны были вернуться обратно к стоянке. скорость течения реки 2 км/ч, собств 18 км/. На какое расстояние они могут отъехать, что бы прогулка длилась не более 3 часов.

    • Александр

      Задача вполне, как говорят, типовая, хотя и подана несколько необычно. три часа это максимум времени который им дан.

      Давайте поразмышляем: мы можем записать скорость по течению реки 20 км/ч и против течения 16 км/ч.

      Понятно что время затраченное на путь состоит из времени потраченного на дорогу туда и обратно.

      Как это можно выразить?

      Обозначим расстояние между точкой отплытия и точкой разворота как х км. Тогда время потраченное до этой точки будет равно х/20, обратно х/16. В сумме как сказано это составляет 3 часа. Получается что нужно решить уравнение (х/20)+(х/16)=3.

      Условие данной задачи по сути равносильно условию:

      Туристы отправились на моторной лодке по течению реки и должны вернуться обратно к стоянке. Скорость течения реки 2 км/ч, собственная скорость лодки 18 км/ч. Какое расстояние между точкой отплытия и точкой разворота, если они затратили 3 часа на весь путь.

  2. Улбосын

    Александр, здравствуйте!

    В задаче на движение теплохода во втором абзаце вместо «скорость против течения реки х-4км/ч» написано «скорость против течения реки 4км/ч»

    • Александр

      Благодарю )) Поправил.

  3. ученик

    Здравствуйте, помогите пожалуйста с задачей:

    Турист проплыл на лодке по реке из города А в город В и обратно за 7 ч. Найдите скорость течения реки, если известно, что турист проплывал 2 км против течения за то же время, что и 5 км по течению, а расстояние между городами равно 20 км.

    как написать саму формулировку(пусть...)?

    • Александр

      Как видно из условия не дано никаких скоростей ( имею ввиду собственную скорость лодки.

      Здесь необходимо составить два уравнения и решить систему.

      1. Пусть скорость по течению будет х км/ч, а скорость против течения равна у. Тогда исходя из условия можем записать уравнение 2/у=5/х

      2. Время движения по течению равно 10/х часов, время движения против течения равно 10/у часов. В сумме время равно 7 часам. То есть 10/х+10/у=7.

      Решаем систему из двух уравнений. Находим х и у. А далее уже без труда можно вычислить скорость течения реки.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

*