Самые хитрые задачи на ЕГЭ по математике
ШКОЛА ЕГЭ! Сорви максимум баллов!

Архив за 26.02.2014

Найдите площадь поверхности прямой призмы

Заключительная статья про параллелепипеды. По крайней мере, на данный момент рассмотрены все задания, которые имеются в открытом банке заданий ЕГЭ. Здесь представлены две задачи, связанные с площадью поверхности прямого параллелепипеда.

Это взаимообратные задачи: в одной даны диагонали ромба лежащего в основании и боковое ребро, требуется найти площадь поверхности параллелепипеда; в другой задаче дана площадь поверхности, диагонали ромба лежащего в основании и требуется найти боковое ребро. Напомню формулы. Площадь поверхности прямой призмы:

Далее

Одна из граней прямоугольного параллелепипеда

Предлагаю вашему вниманию ещё две задачи с параллелепипедами. На данный момент рассмотрены почти все задачи с кубами и параллелепипедами, которые присутствуют в открытом банке заданий ЕГЭ по математике. С ними вы можете ознакомиться, посмотрев предыдущие статьи. В представленных ниже задачах есть некоторые особенности. Что ж, приступим:

Одна из граней прямоугольного параллелепипеда — квадрат. Диагональ параллелепипеда равна 2 и образует с плоскостью этой грани угол 300. Найдите объем параллелепипеда.

Построим данный параллелепипед. Сказано, что диагональ образует с гранью, являющейся квадратом угол в 300, поэтому выполним построение следующим образом – грань в основании у нас будет являться квадратом, далее на этом основании строим сам параллелепипед, затем строим диагональ и обозначаем вершины:

Далее

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1

Ещё пару задачек связанных с параллелепипедами. Данные задания от остальных, рассмотренных ранее, отличаются тем, что здесь требуется найти площадь сечения.

Сами вычисления минимальны. Основная трудность у некоторых может возникнуть именно в построении самого сечения. Что ж, все рекомендации даны ниже, приступим:

315131. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1  ребро AB = 2, ребро AD равно корню из пяти, ребро AA1 = 2. Точка K  — середина ребра BB1. Найдите площадь сечения, проходящего через точки A1, D1 и K.

Построим параллелепипед, обозначим вершины и точку К. Затем построим плоскость, проходящую через точки A1, D1 и K:

Далее

В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между

Перед вами очередная статья с параллелепипедами. Представленные задания просты, вычислений никаких нет или их минимум. Рассматриваются кубы и прямоугольные параллелепипеды. Важно грамотно выполнить построения и знать элементарные свойства. Например, в данных заданиях используются:

1. В равностороннем треугольнике все его углы равны 60 градусам.
2. Диагонали граней куба равны.
3. Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам.
4. Необходимо понимание понятия —  скрещивающиеся прямые.

Напомню какая призма является правильной.

Правильная призма – это призма основания которой - правильные многоугольники, боковые рёбра расположены под прямым углом к основаниям.  Например, правильная треугольная призма – это прямая призма, основания которой равносторонние треугольники.

Далее

Найдите объем многогранника, вершинами которого

В прошлой статье мы рассмотрели несколько задач с параллелепипедами. Шла речь о нахождении объёма пирамиды построенной на его вершинах. В данной статье мы рассмотрим ещё несколько подобных задач, но с прямоугольным параллелепипедом.

Основная сложность в данных заданиях состоит в том, что не всегда сходу можно «увидеть» в параллелепипеде тот многогранник, вершины которого даны в условии.

Многогранником в подобных задачах обычно является призма, либо пирамида.

Совет: постройте параллелепипед, обозначьте его вершины, затем в зависимости от поставленного условия в конкретной задаче соедините вершины многогранника. Далее смотрите, какую его грань удобно использовать как основание  для дальнейших вычислений.

 Необходимо помнить важное свойство:

В параллелепипеде Все Параллельные Рёбра Равны

Формулы, которые необходимо знать: Далее

Объем параллелепипеда равен

Для вас очередная статья, сегодня мы мы рассмотрим задания с параллелепипедом. Освежим в памяти само понятие...

Параллелепипед — это четырехугольная призма, все грани которой — параллелограммы. Параллелепипеды, как и призмы, могут быть прямыми и наклонными.

Если сказать просто, то у прямого параллелепипеда его боковые рёбра перпендикулярны основанию, боковые грани прямоугольники, основания параллелограммы; у наклонного параллелепипеда верхнее и нижнее основания как бы смещены параллельным сдвигом, посмотрите рисунок в первой задаче. 

В предыдущих статьях мы рассматривали задачи с прямоугольным параллелепипедом (все грани прямоугольники). Представленные ниже задания я выделил в отдельную группу, так как в ходе решения рассматривается пирамида — стоят вопросы о нахождении её объёма. Решаются они практически устно, но мы их разберём подробно. Что нужно помнить? Далее

Если каждое ребро куба увеличить

Продолжаем рассматривать задания с кубами и параллелепипедами. Основные формулы можно посмотреть в начале этой статьи. Представленные ниже задачи связаны с изменением объёма и площади поверхности при увеличении (уменьшении) ребра.

В одной из задач используется понятие равновеликости. Что это означает? Равновеликие тела это тела имеющие равный объём. Например, если сказано, что шар равновелик кубу – это означает, что шар и куб имеют равный объём. Рассмотрим задачи:

Если каждое ребро куба увеличить на 9, то его площадь поверхности увеличится на 594. Найдите ребро куба.

Далее