Подготовка к ЕГЭ по математике 2017 бесплатно!
Программируемые LEGO конструкторы! Посмотреть!

Найдите объем многогранника, вершинами которого

В прошлой статье мы рассмотрели несколько задач с параллелепипедами. Шла речь о нахождении объёма пирамиды построенной на его вершинах. В данной статье мы рассмотрим ещё несколько подобных задач, но с прямоугольным параллелепипедом.

Основная сложность в данных заданиях состоит в том, что не всегда сходу можно «увидеть» в параллелепипеде тот многогранник, вершины которого даны в условии.

Многогранником в подобных задачах обычно является призма, либо пирамида.

Совет: постройте параллелепипед, обозначьте его вершины, затем в зависимости от поставленного условия в конкретной задаче соедините вершины многогранника. Далее смотрите, какую его грань удобно использовать как основание  для дальнейших вычислений.

 Необходимо помнить важное свойство:

В параллелепипеде Все Параллельные Рёбра Равны

Формулы, которые необходимо знать:

Объём призмы

Объём пирамиды

Рассмотрим задачи:

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, D, A1, B, C, B1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, у которого AB = 7, AD = 5, AA1 = 10.

Для наглядности соединим вершины:

Объём многогранника ADA1BCB1 равен половине объёма параллелепипеда так как он разделяется плоскостью CDA1B1 на две равные части.

Следовательно искомый объём равен половине объёма данного параллелепипеда:

Ответ: 175

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки D, B, B1, C1, прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, у которого AB = 6, AD = 6, AA1 = 9.

Соединим указанные вершины:

Многогранник DBB1C1 это пирамида с основанием BB1C1  вершиной D при чём высота этой пирамиды равна AB (АВ=СD).

Конечно, данную пирамиду можно представить и с другим основанием и высотой, но тогда будет сложно и долго производить вычисления. В данном же случае площадь BB1C1  найти просто – это  прямоугольный треугольник с известными катетами,  АВ так же известна.

Таким образом, искомый объём равен:

Ответ: 54

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A1, B, C, C1, B1, прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, у которого AB = 4, AD = 3, AA1 = 4.  

Соединим указанные вершины:

Многогранник A1BCC1B1 это пирамида с основанием BCC1B1, вершиной A1  и высотой равной AB.

Таким образом, искомый объём равен:

Ответ: 16

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, B1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, у которого AB = 3, AD = 3, AA1 = 4.

Соединим указанные вершины:

Многогранник ABCB1 это пирамида с основанием ABC, вершиной B1  и высотой равной BB1. Таким образом, искомый объём равен:

Ответ: 6

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A,B,B1,C1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, у которого AB = 5, AD =3, AA1 = 4.

Соединим указанные вершины:

Многогранник ABB1C1 это пирамида с основанием ABB1 вершиной C1  и высотой равной B1C1. Таким образом, искомый объём равен:

Ответ: 10

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, D, A1, B, C, B1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1,  у которого AB =3, AD =5, AA1 = 5.

Ответ: 37,5

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, D1, прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, у которого AB = 4, AD =3, AA1 = 4.

Ответ: 8

Как видите, задачи решаются в одно действие. Особых сложностей нет, главное не ошибиться в вычислениях. Будут ещё задачи с параллелепипедами, но в них будет стоять вопрос о нахождении площади сечения, не пропустите! 

На этом всё. Успеха вам!

С уважением, Александр Крутицких. 

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.


Подготовка к ОГЭ по математике. Полный курс!

Школа репетиторов Анны Малковой. Супер тренинг!

Онлайн-обучение, подготовка к ЕГЭ и ОГЭ по предметам!

50 базовых упражнений лечебной физкультуры!

Отзывов (8)
  1. Альберт

    В «решите самостоятельно» в первой задаче опечатки нет? Поскольку в точно таком же задании, мы нашли объем параллелепипеда и поделили на 2. Если же и в этой задаче также сделать, то ответ будет 37,5.

    • Александр Крутицких

      Ошибки нет. V=(1/3)*4*3*(½)*4=8

      Находим объём пирамиды

      4*3*(½) её основание, 4- высота

      • Альберт

        Александр, Вы не поняли. Задание, которое выше:

        Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, D, A1, B, C, B1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, у которого AB =3, AD =5, AA1 = 5.

        • Александр Крутицких

          Верно, поправил! Спасибо!

  2. Анастасия

    Объясните пожалуйста,почему высоты в задачах 2 и 3 равны AB?

    • Александр

      В задаче 2 высота указанной пирамиды равна АВ, так как это и есть расстояние от основания ВВ1С1 до вершины D. (АВ=CD)

      В задаче 3 высота пирамиды равна АВ, так как АВ=А1В1 это расстояние от основания пирамиды до вершины А1.

      • Анастасия

        Ох,как то сложно это увидеть мне(

        Спасибо)

        И вообще,пользуясь случаем,хочу поблагодарить вас за ваши труды.Наверстала очень многое благодаря вашим занятиям.

  3. Артем

    A, B, C, D, A1, B1, C1, D1 прямоугольный параллелепипед. Докажите что, А, B1, C1, D прямоугольник

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

*