Найдите объем многогранника, вершинами которого

В прошлой статье мы рассмотрели несколько задач с параллелепипедами. Шла речь о нахождении объёма пирамиды построенной на его вершинах. В данной статье мы рассмотрим ещё несколько подобных задач, но с прямоугольным параллелепипедом.

Основная сложность в данных заданиях состоит в том, что не всегда сходу можно «увидеть» в параллелепипеде тот многогранник, вершины которого даны в условии.

Многогранником в подобных задачах обычно является призма, либо пирамида.

Совет: постройте параллелепипед, обозначьте его вершины, затем в зависимости от поставленного условия в конкретной задаче соедините вершины многогранника. Далее смотрите, какую его грань удобно использовать как основание  для дальнейших вычислений.

 Необходимо помнить важное свойство:

В параллелепипеде Все Параллельные Рёбра Равны

Формулы, которые необходимо знать:

Объём призмы

Объём пирамиды

Рассмотрим задачи:

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, D, A₁, B, C, B₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁, у которого AB = 7, AD = 5, AA₁ = 10.

Для наглядности соединим вершины:

Объём многогранника ADA₁BCB₁ равен половине объёма параллелепипеда так как он разделяется плоскостью CDA₁B₁ на две равные части.

Следовательно искомый объём равен половине объёма данного параллелепипеда:

Ответ: 175

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки D, B, B₁, C₁, прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁, у которого AB = 6, AD = 6, AA₁ = 9.

Соединим указанные вершины:

Многогранник DBB₁C₁ это пирамида с основанием BB₁C₁  вершиной D при чём высота этой пирамиды равна AB (АВ=СD).

Конечно, данную пирамиду можно представить и с другим основанием и высотой, но тогда будет сложно и долго производить вычисления. В данном же случае площадь BB₁C₁  найти просто – это  прямоугольный треугольник с известными катетами,  АВ так же известна.

Таким образом, искомый объём равен:

Ответ: 54

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A₁, B, C, C₁, B₁, прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁, у которого AB = 4, AD = 3, AA₁ = 4.  

Соединим указанные вершины:

Многогранник A₁BCC₁B₁ это пирамида с основанием BCC₁B₁, вершиной A₁  и высотой равной AB.

Таким образом, искомый объём равен:

Ответ: 16

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, B₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁, у которого AB = 3, AD = 3, AA₁ = 4.

Соединим указанные вершины:

Многогранник ABCB₁ это пирамида с основанием ABC, вершиной B₁  и высотой равной BB₁. Таким образом, искомый объём равен:

Ответ: 6

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A,B,B₁,C₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁, у которого AB = 5, AD =3, AA₁ = 4.

Соединим указанные вершины:

Многогранник ABB₁C₁ это пирамида с основанием ABB₁ вершиной C₁  и высотой равной B₁C₁. Таким образом, искомый объём равен:

Ответ: 10

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, D, A₁, B, C, B₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁,  у которого AB =3, AD =5, AA₁ = 5.

Ответ: 37,5

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, D₁, прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁, у которого AB = 4, AD =3, AA₁ = 4.

Ответ: 8

Как видите, задачи решаются в одно действие. Особых сложностей нет, главное не ошибиться в вычислениях. Будут ещё задачи с параллелепипедами, но в них будет стоять вопрос о нахождении площади сечения, не пропустите! 

На этом всё. Успеха вам!

С уважением, Александр. 

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.