Перед вами очередная статья с параллелепипедами. Представленные задания просты, вычислений никаких нет или их минимум. Рассматриваются кубы и прямоугольные параллелепипеды. Важно грамотно выполнить построения и знать элементарные свойства. Например, в данных заданиях используются:
1. В равностороннем треугольнике все его углы равны 60 градусам.
2. Диагонали граней куба равны.
3. Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам.
4. Необходимо понимание понятия — скрещивающиеся прямые.
Напомню какая призма является правильной.
Правильная призма – это призма основания которой - правильные многоугольники, боковые рёбра расположены под прямым углом к основаниям. Например, правильная треугольная призма – это прямая призма, основания которой равносторонние треугольники.
Правильная четырёхугольная призма – это прямая призма, основания которой являются квадратами. Понятно, что такая призма является прямоугольным параллелепипедом.
Правильная шестиугольная призма – это прямая призма, основания которой являются правильными шестиугольниками. Рассмотрим задачи:
315130. В кубе ABCDA1B1C1D1 точка К — середина ребра АA1, точка L — середина ребра A1B1, точка M — середина ребра A1D1. Найдите угол MLK. Ответ дайте в градусах.
Построим куб, обозначим его вершины и точки K, M и L.
Так как данные точки являются серединами ребёр, то отрезки KM, ML, KL будут равны между собой. Это означает, что треугольник KML равносторонний. Известно, что в равностороннем треугольнике его углы равны по 60 градусов. Таким образом, угол MLK равен 600.
Ответ: 60
316554. В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между прямыми АD1 и B1D1. Ответ дайте в градусах.
Построим куб, обозначим вершины и данные отрезки, также построим отрезок АВ1.
Отрезки АD1, B1D1 и АD1 являются диагоналями граней куба, то есть все они равны, значит треугольник АD1B1 является равносторонним. Известно, что в равностороннем треугольнике его углы равны по 60 градусов.
Таким образом, угол между прямыми АD1 и B1D1 равен 600.
Ответ: 60
318474. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны длины рёбер AB = 8, AD = 6, AA1 = 21. Найдите синус угла между прямыми CD и A1C1.
Построим отрезки CD и A1C1:
В данной задаче имеем скрещивающиеся прямые, то есть сами они не имеют общей точки пересечения. Но этот угол между скрещивающимся прямыми определяется. Как?
Простыми словами: если вы мысленно представите в пространстве две непараллельные прямые, то всегда существует такой перпендикуляр, который их соединяет. Так вот, если мы параллельным переносом сдвинем одну прямую к другой по этому перпендикуляру до пересечения этих прямых, то полученный между ними угол и будет тем самым искомым углом.
В кубах и параллелепипедах, где прямые проходят через рёбра и диагонали такие углы определить несложно. А вот в части С присутствуют задания со скрещивающимися прямыми на порядок сложнее.
Вернёмся к нашей задаче.
Мысленно сдвинем отрезок CD вдоль перпендикуляра СC1 до пересечения с прямой A1C1. Получается, что необходимо найти синус угла между A1C1 и C1D1. Это мы можем сделать воспользовавшись определением синуса в прямоугольном треугольнике А1C1D1. Найдём:
По определению синуса:
Ответ: 0,6
318475. В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 известно, что AC1 = 2BC. Найдите острый угол между диагоналями BD1 и CA1. Ответ дайте в градусах.
Построим правильную четырёхугольную призму, обозначим вершины, построим диагонали BD1 и CA1:
Сразу отметим, что диагонали BD1 и CA1 являются диагоналями прямоугольника A1BCD1, то есть они равны между собой и равны диагонали AC1 (так как призма правильная четырехугольная).
Известно, что диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, то есть:
A1С = D1B
A1O = ОС и D1O = ОB
A1O = ОС = D1O = ОB
В условии сказано, что AC1 = 2BC, значит имеем BD1 = CA1 = 2BC. На основании изложенного можем сделать вывод о том, что:
BO = ОС = BC и A1O = ОD1 = A1D1
то есть треугольники BОС и A1OD1 равносторонние.
Таким образом, угол острый между диагоналями равен 600.
Ответ: 60
В данных заданиях используется теорема Пифагора, для нахождения углов необходимо владеть понятиями синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла в прямоугольном треугольнике.
245359. Найдите квадрат расстояния между вершинами C и A1 прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 5, AD = 4, AA1 = 3.
245360. Найдите расстояние между вершинами A и D1 прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 5, AD = 4, AA1 = 3.
245361. Найдите угол ABD1 прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 5, AD = 4, AA1 = 3. Ответ дайте в градусах.
245362. Найдите угол C1BC прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 5, AD = 4, AA1 = 4. Ответ дайте в градусах.
245363. Найдите угол DBD1 прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 4, AD = 3, AA1 = 5. Ответ дайте в градусах.
284357. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что BD1 = 3, CD = 2, AD = 2. Найдите длину ребра AA1.
284363. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что DD1 = 1, CD = 2, AD = 2. Найдите длину диагонали CA1.
На этом всё. Успеха вам!
С уважением, Александр.
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.