Подготовка к ЕГЭ по математике 2017 бесплатно!
Бесплатный метод устранения головной боли!

Объем параллелепипеда равен

Для вас очередная статья, сегодня мы мы рассмотрим задания с параллелепипедом. Освежим в памяти само понятие...

Параллелепипед — это четырехугольная призма, все грани которой — параллелограммы. Параллелепипеды, как и призмы, могут быть прямыми и наклонными.

Если сказать просто, то у прямого параллелепипеда его боковые рёбра перпендикулярны основанию, боковые грани прямоугольники, основания параллелограммы; у наклонного параллелепипеда верхнее и нижнее основания как бы смещены параллельным сдвигом, посмотрите рисунок в первой задаче. 

В предыдущих статьях мы рассматривали задачи с прямоугольным параллелепипедом (все грани прямоугольники). Представленные ниже задания я выделил в отдельную группу, так как в ходе решения рассматривается пирамида — стоят вопросы о нахождении её объёма. Решаются они вообщем-то устно, но мы их разберём подробно. Что нужно помнить?

Формула объёма параллелепипеда:

С площадью основания всё ясно. А что такое высота? Если параллелепипед прямой, то понятно – его высота равна боковому ребру. Если же  параллелепипед наклонный? Его высота равна расстоянию между основаниями, то есть простыми словами можно сказать, что это длина отрезка, который перпендикулярен основаниям и соединяет их:

Но в данных задачах находить саму площадь основания и высоту будет не нужно.

Формула объёма пирамиды:

*Запомните навсегда, что объём пирамиды равен одной трети объёма параллелепипеда с тем основанием и высотой.

Рассмотрим задачи:

Объем параллелепипеда ABCDA1B1C1D1  равен 9. Найдите объем треугольной пирамиды ABDA1.

Известно, что объём параллелепипеда равен произведению площади его основания и высоты, то есть:

Объём  пирамиды равен:

Рассмотрим пирамиду ABDA1, её высота равна  высоте параллелепипеда, так она у них общая. Площадь её основания в два раза меньше площади основания параллелепипеда, так как диагональ BD делит параллелограмм ABCD на два равных по площади треугольника, значит:

Следовательно:

Получили, что объём пирамиды в шесть раз меньше объёма параллелепипеда и будет равен  9:6 = 1,5.

Ответ: 1,5

*В подобных заданиях, где дан объём параллелепипеда и требуется найти объём какой-либо составляющей его части, не нужно пытаться найти саму площадь основания или высоту. Необходимо просто установить соотношение объёмов используя известные свойства.

Объем куба равен 94. Найдите объем треугольной призмы, отсекаемой от него плоскостью, проходящей через середины двух ребер, выходящих из одной вершины и параллельной третьему ребру, выходящему из этой же вершины.

Объем призмы равен произведению площади основания на высоту:

Поскольку высота призмы равна высоте куба, то их объемы пропорциональны площадям их оснований. Определим, как соотносятся площади оснований призмы и куба.

Пусть ребро куба равно а. Тогда площадь основания куба равна а2.

Определим площадь основания призмы:

Видно, что площадь основания построенной призмы в 8 раз меньше площади основания куба, поэтому искомый объем призмы также будет в 8 раз меньше объёма куба, то есть:

Ответ: 12

Объем куба равен 123. Найдите объем четырехугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной — центр куба.

Объем пирамиды равен:

Площади оснований куба и пирамиды равны, высота пирамиды в два раза меньше ребра куба. Обозначим ребро куба как  a, тогда объём пирамиды:

Ответ: 20,5

Объем параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равен 3,6. Найдите объем треугольной пирамиды B1AD1C.

Данную задачу можно решить разными способами. Можно найти площадь основания AD1C и высоту пирамиды (отрезок соединяющий центр куба и вершину B1), но это долгий путь. Проще поступить следующим образом.

Искомый объем равен разности объемов параллелепипеда и четырех пирамид:

То есть мы как бы вычленяем (вырезаем) пирамиду из куба «отсекая» лишнее. Обозначим для простоты восприятия рёбра следующим образом, пусть:

AB = a     BC = b     BB1 = c

Тогда

Ответ: 1,2

Найдите объем параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, если объем треугольной пирамиды ABDA1 равен 10.

Эта задача обратная той, которую мы рассмотрели в самом начале. Мы установили, что объём такой пирамиды в шесть раз меньше объёма параллелепипеда, значит  объём параллелепипеда будет равен 60.

Запишем подробнее. Объем параллелепипеда равен:

Объём данной пирамиды равен:

Площадь основания пирамиды равна половине площади основания параллелепипеда, то есть:

Следовательно

Можем записать:

Ответ: 60

27182. Объем параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равен 12. Найдите объем треугольной пирамиды B1ABC.  Ответ: 2

27183. Объем куба равен 12. Найдите объем треугольной призмы, отсекаемой от него плоскостью, проходящей через середины двух ребер, выходящих из одной вершины и параллельной третьему ребру, выходящему из этой же вершины.

Посмотреть решение

27184. Объем куба равен 12. Найдите объем четырехугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной — центр куба.

Посмотреть решение

27209. Объем параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равен 4,5. Найдите объем треугольной пирамиды AD1CB1.

Посмотреть решение

77154. Найдите объем параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, если объем треугольной пирамиды ABDA1 равен 3.

Посмотреть решение

Как вы поняли, главное в подобных заданиях знать свойства. Например, что диагональ параллелограмма делит  его на два равных по площади треугольника; две диагонали параллелограмма разбивают его на четыре равных по площади треугольника; то, что центр куба делит его высоту пополам, равноотстоит от его граней и вершин и прочее.

Понимая это и другие простые свойства фигур вы без труда вычислите (устно) во сколько раз объём пирамиды будет меньше объёма куба или параллелепипеда, а также сможете быстро решать другие подобные задания.

Например, решим такую задачу: дан наклонный параллелепипед, его основание и основание пирамиды находятся в одной плоскости. Площадь основания пирамиды в 4 раза меньше, её высота в 3 раза меньше высоты параллелепипеда. Найдите объём пирамиды, если объём параллелепипеда равен 360.

Сразу отметим, что у пирамиды с тем же основанием и высотой объём в три раза меньше. Сказанной, что площадь её основания в 4 раза меньше, то есть объём уменьшается ещё в 4 раза, и высота в 3 раза, получаем:

Успеха вам!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.


Подготовка к ОГЭ по математике. Полный курс!

Школа репетиторов Анны Малковой. Супер тренинг!

Онлайн-обучение, подготовка к ЕГЭ и ОГЭ по предметам!

50 базовых упражнений лечебной физкультуры!

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

*