Правильные многоугольники и окружность

Правильные многоугольники и окружность. Здравствуйте, Дорогие друзья! Во многих задачах в курсе геометрии, в том числе и в составе ЕГЭ имеется много заданий связанных с понятием окружности вписанной в правильный многоугольник и описанной около него. Если конкретней, то в данном случае мы рассмотрим правильный треугольник, также квадрат и правильный шестиугольник. Именно с этими правильными многоугольниками связаны условия заданий на экзамене. Обычно в ходе решения таких задач возникает необходимость выразить:

1. Сторону правильного треугольника через радиус вписанной или описанной окружности.

2. Сторону квадрата через радиус вписанной окружности или  описанной окружности.

3. Сторону правильного шестиугольника через радиус вписанной или описанной окружности.

4. Радиус вписанной в правильный многоугольник окружности через радиус описанной около него окружности и наоборот.

На сайте рассмотрены (и в будущем будут рассматриваться) задачи, в которых эти формулы используются. При решении подробно не описывается как они выводятся. Просто говорится, например, что сторона правильного треугольника соотносится с радиусом вписанной в него окружности как:

У многих возникают вопросы по этому поводу: Как? Почему? В этой статье мы выведем все указанные соотношения и в будущем  при решении задач, если потребуется, просто буду давать ссылку на эту статью.

Что нужно всегда помнить и понимать?

Центр правильного многоугольника совпадает с центром вписанной о описанной около него окружности. Итак, приступим!

Правильный треугольник, вписанная и описанная окружность.

Пусть а – это его сторона, радиус описанной окружности равен R, а радиус вписанной окружности равен r.

Стороны правильного треугольника и вписанная в него окружность имеют общие точки (точки касания), эти точки делят стороны треугольника пополам. Радиус описанной окружности, проведённый к вершине треугольника является биссектрисой, то есть делит угол при этой вершине, равный 60 градусам, пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник (выделен жёлтым). По определению тангенса: Получаем, что: По определению косинуса: Получаем, что: Можем записать соотношение радиусов:

Квадрат, вписанная и описанная около него окружность.

Пусть а – это сторона квадрата, радиус описанной окружности равен R, а радиус вписанной окружности равен r.

Стороны квадрата и вписанная в него окружность имеют общие точки (точки касания), эти точки делят стороны квадрата пополам.

Радиус описанной окружности, проведённый к вершине квадрата является биссектрисой, то есть делит угол квадрата пополам.

Рассмотрим прямоугольный треугольник (выделен жёлтым). На основании вышеизложенного можно сделать вывод о том, что:

По определению косинуса: Получаем, что: *Можно было воспользоваться также теоремой Пифагора. Запишем соотношение радиусов:

Правильный шестиугольник. Вписанная и описанная окружность.

Стороны правильного шестиугольника и вписанная окружность имеют общие точки (точки касания), эти точки делят стороны данного шестиугольника пополам.

Радиус описанной окружности, проведённый к вершине шестиугольника является биссектрисой, то есть делит угол правильного шестиугольника равный 120 градусам пополам. Подробнее о правильном шестиугольнике и описанной около него окружности можете посмотреть информацию в этой статье.

Рассмотрим прямоугольный треугольник (выделен жёлтым). По определению тангенса: Получаем, что:

Тот факт, что сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной окружности известен практически всем школьникам изучившим соответствующий материал по планиметрии:

Если интересно посмотрите как это можно вывести. По определению косинуса в прямоугольном треугольнике: Получаем, что: Можем записать соотношение радиусов: Вот и всё.

Конечно же, учить и запоминать данные формулы не нужно. В ходе решения вы всегда сможете их также вывести используя свойства правильных многоугольников, определения тангенса и косинуса, теорему Пифагора.

Я решил изложить это в отдельной статье только для того, чтобы у вас не возникали вопросы при решении и изучении соответствующих заданий на блоге и вы всегда могли бы посмотреть откуда взялась формула. Везде, где потребуется данная информация я буду размещать ссылку на эту статью.

Получить материал статьи в формате PDF

Успеха Вам!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.