Подготовка к ЕГЭ по математике 2017 бесплатно!
Программируемые LEGO конструкторы! Посмотреть!

Средняя линия треугольника. Определение

Средняя линия треугольника. Здравствуйте, друзья! Сегодня теоретический материал, связан он с треугольником. В составе экзамена имеется группа заданий, в которых используется свойство его средней линии. Причём не только в задачах с треугольниками, но и с трапециями. Была на блоге статья, в которой сии факты я предлагал просто запомнить, теперь подробнее…

Что такое средняя линия треугольника и каковы её свойства?

 

Средняя линия треугольника. Определение

 

Определение. Средняя линия треугольника – это отрезок, соединяющий середины сторон треугольника.

Понятно, что средних линий в треугольнике три. Покажем их:

Без всяких доказательств вы уже, наверное, заметили, что все четыре образованные треугольника равны. Это так, но подробнее об этом поговорим далее.

 

Средняя линия треугольника. Теорема

 

Теорема. Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине.

Доказательство:

1. Давайте рассмотрим треугольники BMN и BAC. По условию у нас BM=MA, BN=NC. Можем записать:

Следовательно треугольники подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними (второй признак подобия). Что из этого следует? А то что:

По признаку параллельности прямых MN||AC.

2. Также из подобия треугольников следует, что

То есть MN в два раза меньше. Доказано!

 

Средняя линия треугольника. Задача

 

Решим типичную задачу.

Задача. В треугольнике ABC точки  M, N, K – середины сторон AB, BC, AC. Найти периметр треугольника ABC, если MN=12, MK=10, KN=8.

Решение. Конечно, прежде всего следует проверить существование треугольника MNK (а значит и существование треугольника АВС). Сумма двух меньших сторон должна быть более третьей стороны, записываем 10+8>12. Выполнятся, следовательно треугольник существует.

Построим эскиз:

Таким образом периметр треугольника АВС равен 24+20+16=60.

Ответ: 60

*Теперь подробнее о треугольниках полученных при построении всех трёх средних линий. Их равенство по-сути доказано. Посмотрите:

Равны они по трём сторонам. *Конечно, и другие признаки здесь применимы. Получаем, что

Как это свойство используется в заданиях включённых в состав экзамена? Особо хочется заострить внимание на задачах по стереометрии. Есть такие типы, в которых речь идет о треугольной призме.

Например, сказано что плоскость  проходит через середины сторон основания и она параллельна третьему ребру основания.  Ставятся вопросы о изменении площади поверхности призмы, её объёма и другие.

Так вот. Зная и понимая информацию изложенную выше вы сразу же определите, что эта плоскость отсекает от основания указанной призмы одну четвёртую часть и задачу решите устно. Вот статья на блоге с такими задачами.

На этом всё! Всего доброго!

С уважением, Александр Крутицких.

Делитесь информацией сайта в социальных сетях!


Подготовка к ОГЭ по математике. Полный курс!

Школа репетиторов Анны Малковой. Супер тренинг!

Онлайн-обучение, подготовка к ЕГЭ и ОГЭ по предметам!

50 базовых упражнений лечебной физкультуры!

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

*