Подготовка к ЕГЭ по математике бесплатно!
Поздравительный ролик из фото на заказ!

Задачи на проценты!

Задачи на проценты! В этой статье мы рассмотрим некоторые задачи. Вообще, как показывает статистика, при сдаче ЕГЭ по математике, представленные задачи трудностей не вызывают, их решают 9 из 10 выпускников. Возникает вопрос: всё же, в каких задачах допускаются ошибки? Как правило это задачи на проценты. 

Теперь немного теории. Все в быту сталкиваются с этим понятием «процент» и используют его. Даже не изучая никакой теории, мы понимаем, что  50% — это половина чего-то, 10% — это десятая часть чего-то, 100% — это  полностью это «что-то». Вспомним, что:

1%  – это  одна сотая часть, записывается  как  1/100.

2%  – это  две сотых, записывается  как  2/100.

Значит 56% – это  пятьдесят шесть сотых и так любой процент.

Например, 10% это 10/100 = 0,1 от какой-либо величины

Например, если выразить в долевом отношении 25% от килограмма конфет, то это будет одна четверть от килограмма. Части (доли) могут быть представлены не только в виде обыкновенной дроби, но и в виде десятичной, например:  0,25;  0,6; 0,05; 0,56.

Что такое дробь  (часть) от числа? Когда мы говорим: «одна четверть от х»  — это значит, что

«2% от 60 минут» означает, что

* * * * * * *

Чтобы найти дробь (или часть) от числа, надо дробь (часть) умножить  на это число.

 

Задачи на проценты решаются путём составления пропорции. Напомним, что пропорция — это равенство вида:

это  разная форма записи.

Основное правило пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних, то есть то есть

a∙d = b∙c

Если какая-либо величина в пропорции неизвестна, ее можно найти именно по этому правилу. Например, из пропорции:

Для кого-то будет удобным следующее правило. Его ещё называют «правило креста». Чтобы обойтись без лишних записей и вы не задумывались в дальнейшем, как правильно посчитать и не ошибиться, запомните  –  где бы в пропорции не стоял х, его мы находим следующим образом:

Записываем х, ставим знак равенства, далее дробь, в числитель записываем произведение известных членов стоящих по диагонали, в знаменатель то значение, которое стоит по диагонали от х.

Название этого правила исходит от пересечения диагоналей, они образуют крест:

Кроме того, можно обойтись без этого правила, и решать пропорцию как простое линейное уравнение (имеем право умножать или делить обе части уравнения на одно и то же число):

Как видим результат тот же. Или  такую пропорцию:

Для решения используйте тот способ, который вам удобен. Чтобы составить пропорцию при решении задач на проценты, необходимо установить некоторое соответствие между процентами и количеством чего-либо (рубли, детали, шубы, изделия и т.п.). По рассмотренным примерам вы поймёте, что это значит.

Запомним важное правило:

За 100% принимается та величина,

с которой мы сравниваем

 

Цена на электрический чайник была повышена на 21% и составила 3025 рублей. Сколько рублей стоил чайник до повышения цены? 

Обратите внимание, что 3025 рублей это цена, после повышения на 21%. При составлении пропорции мы запишем: 3025 это 121%,  а стоимость до повышения примем за 100% (помните правило – за 100% процентов принимаем величину, с которой сравниваем).

3025 рубля  -  121%

х рублей     -  100%

Значит, до повышения цены чайник стоил 2500 рублей. Для достоверности сделаем проверку.

То есть решим обратную задачу: чайник стоит 2500 рублей, цена повысилась на 21%. Какова его стоимость после повышения?

Составляем пропорцию,  2500 рублей принимаем за 100%,  х  рублей принимаем за 121% (цена, повышенная на 21%):

2500 рублей   -  100%

х рублей        -  121%

Верно.

Ответ: 2500

Футболка стоила 1200 рублей. После снижения цены она стала стоить 972 рублей. На сколько процентов была снижена цена на футболку? 

Определим, сколько процентов от 1200 рублей составляет сниженная цена. 1200 рублей (величина, с которой сравниваем) принимаем за 100%, 972 рубля это х %. Составляем пропорцию:

1200 рублей   -  100%

972 рубля      -   х %

То есть 972 это 81% от 1200 рублей.

Значит, цена снизилась на 100-81=19%.

Ответ: 19

В городе N живет 250000 жителей. Среди них 15 % детей и подростков. Среди взрослых жителей 35% не работает (пенсионеры, студенты, домохозяйки и т.п.). Сколько взрослых жителей работает? 

Почему-то именно эту задачу   редко решают правильно? Дело в том, что «15 процентов» или «35 процентов» — величины относительные. Каждый раз за сто процентов могут приниматься разные величины. Помните правило: за сто процентов принимается в каждом случае то, с чем мы сравниваем. Итак, дети и подростки составляют 15% от  250000 жителей. Значит, их число — это 15% от 250000,

Получили, что в городе  37500 детей и  подростков. Следовательно, взрослых в городе  250000-37500=212500 человек.

Среди взрослых 35% не работает. Теперь за 100% мы принимаем число взрослых. Получается, что число не работающих взрослых жителей равно 35%  от 212500, составляем пропорцию:

212500      -  100%

 х              -   35%

   Значит, число работающих взрослых составляет 212500-74375=138125 человек. При решении данного типа задач будьте внимательны, есть соблазн записать промежуточный результат, например, 74375. Внимательно читайте условие, и не теряйте из виду, что необходимо найти.

Ответ: 138125

Клиент взял в банке кредит 3000 рублей на год под 12%. Он должен погашать кредит, внося в банк ежемесячно одинаковую сумму денег, с тем, чтобы через год выплатить всю сумму, взятую в кредит, вместе с процентами. Сколько рублей он должен вносить в банк ежемесячно? 

Определим, сколько всего должен выплатить клиент, к сумме 3000 прибавим 12% от 3000 рублей:

Вы можете сначала составить пропорцию, найти 12% от 3000, а затем сложить. Ещё раз повторюсь, решайте так, как вам удобнее и понятнее.

Теперь определим, сколько клиент будет выплачивать в месяц:

Ответ: 280

Налог на доходы составляет 13% от заработной платы. Заработная плата Ивана Кузьмича равна 10000 рублей. Сколько рублей он получит после вычета налога на доходы? 

Составляем пропорцию и находим 13% от 10000 рублей:

10000  рублей     -  100%

х     рублей        -   13 %

Иван Кузьмич получит после вычета: 10000 -1300=8700 рублей.

Ответ: 8700

Посмотреть решение

Посмотреть решение

Посмотреть решение

Посмотреть решение

Посмотреть решение

Посмотреть решение

Посмотреть решение

Посмотреть решение

Посмотреть решение

Посмотреть решение

В будущем в данной рубрике мы будем также рассматривать и другие задачи, не пропустите! Всего доброго!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.


Подготовка к ОГЭ по математике. Полный курс!

Школа репетиторов Анны Малковой!

Онлайн-обучение, подготовка к ЕГЭ и ОГЭ по предметам!

50 базовых упражнений лечебной физкультуры!

Отзывов (6)
  1. leo

    Во второй задаче ошибка 100-81 будет 19 а не 29 !

    • Александр Крутицких

      Благодарю, неидеален, ошибаюсь, поправлю.

    • Русь

      Во второй задаче ошибка 100-81 будет 19 а не 29 !

      Ничего подобного!

      Александр прав.100-81=19...Пример дет/сада.столбиком считайте,если не дошло.

      • Александр Крутицких

        Это у меня была ошибка...

  2. leo

    В четвёртой задаче нужно либо поменять условие либо решение не правильное.

    По-тому что годовой процент делённый на 12 месяцев начисляется каждый месяц на остаток задолженности 🙂

    следовательно нужно писать не 12% годовых, а клиенту начислили единоразовую комиссию в размере 12%

    а если процент начисляется в конце года — то 12% от суммы кредита будет = 0 так-как к концу года клиент погасит весь долг и не на что будет начислять процент.

  3. Неля

    Спасибо огромное. Все понятно и доходчиво. Мне кажется, это идеальное объяснение темы.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

*

code