Как решать задачи на проценты?

Как решать задачи на проценты? В этой статье постараюсь подробно разложить подход к решению. Дело в том, что на блоге уже размещены типовые задания. Разобраны почти все варианты (смотрите карту блога).

Но размещённые задания в основном решены с использованием пропорции. Это допустимо, но как бы не совсем правильно. Я бы даже сказал математически некорректно. Хотя способ этот понятен ребятам и через пропорцию задачи с процентами успешно ими решается.

В этой публикации имеется цель разъяснить именно суть, понимание – что такое процент и как можно (и желательно уметь) решать задачи обладая данным пониманием. Не даром в пятом классе, когда вводится понятие процента ни о каких пропорциях и речи нет.

Если взять в целом, то задачи на проценты условно можно разделить на:

Простые – это задачки в одно-два действия, они-то в основном и входят в состав ЕГЭ;

Непростые – уровень чуть выше, но всё решение также базируется на базовой теории и понимании понятия процента;

Сложные – это задачи, в которых нужно хорошо подумать над решением.

Очень сложные – такие задачи без хорошей практики и наработанных навыков не решить, это для математически подкованных ребят.

Здесь будет предоставлена информация, которой вполне достаточно для решения половины задач входящих в состав экзамена. Сложные (и очень сложные) примеры обязательно рассмотрим в будущем. Итак!

САМОЕ ВАЖНОЕ, что нужно понимать:

Неважно от чего конкретно – это может быть число, тонны металла, площадь участка, объём цистерны, расстояние между объектами. Важно понимать, что это сотая часть (доля). И если речь заходит об одном проценте, то мы понимаем, что ему соответствует она сотая часть. Например, 1% от 3500 кг картофеля это 35 кг (разделили на 100).

Понятно, что 2%  – это две сотых (записывается как 0,02).

Значит 42% – это  сорок две сотых и так далее.

Например, 10% это 10/100  (или 0,1)  от какой-либо величины. Ещё:

Например, если выразить в долевом отношении 25% от килограмма конфет, то это будет одна четверть от килограмма. Части (доли), как вы уже поняли, могут быть представлены не только в виде обыкновенной дроби, но и в виде десятичной, например: 0,25; 0,6; 0,05; 0,56.

Условно задачи на проценты классифицируются (разделяются на типы).

Но учить и тем более зубрить принцип решения указанных ниже «моделей» задач НЕ НУЖНО. Понимания и простой логики вполне достаточно чтобы решать их.

*Выше было сказано, что в роли «чего-либо» может быть всё что угодно: тонны, площадь, объём, длина и так далее. Дело в том, что всё это всё-равно выражается числом, поэтому ниже речь будет идти о числе.

Разберём конкретные примеры.

1. Известно число. Необходимо найти неизвестное число соответствующее определённому (данному) проценту.

Пример: На склад завезли 12000 кг картофеля,  на следующий день было вывезено для продажи 15%. Сколько кг картофеля было вывезено?

2. Известно число и сказано какому проценту от исходного оно соответствует. Необходимо найти это исходное число (соответствующее 100%).

Пример: В понедельник велосипедист проехал 50 километров и это составило 20% от всего запланированного расстояния. Сколько километров составляет весь путь, которые он хочет проехать?

3. Известно число. Дано другое число и стоит вопрос об определении процента, которому оно соответствует относительно первого числа.

Пример: Рабочий за смену сделал 150 деталей. Другой рабочий сделал 120 деталей. Какой процент работы выполнил второй рабочий относительно первого?

4. Есть ещё задания, где ставится вопрос вычислении «процента от процента», но они являются скорее следствием из вышеуказанных типов.

Данные типы «модели» и лежат в основе всех простых задачек на проценты. Конечно, к ним могут быть добавлены различные условия, но в любом случае вычисления крайне просты. Например, в третьей задаче вопрос можно поставить таким образом: на сколько процентов меньше выполнено работы вторым рабочим?

Вот как решаются некоторые задачи ЕГЭ (без пропорции).

26669. Цена на электрический чайник была повышена на 16% и составила 3480 рублей. Сколько рублей стоил чайник до повышения цены?

Обратите внимание, что 3480 рублей это цена после повышения на 16%. То есть 3480 рублей соответствует 116%. Нам необходимо определить цену до повышения, то есть соответствующую 100%.

Сколько рублей будет соответствовать 1 проценту? Определить не трудно:

Теперь для того, чтобы узнать сколько рублей соответствует 100%, 30 умножаем на 100 и получаем 3000 рублей.

Ответ: 3000

26630. Футболка стоила  800 рублей. После снижения цены она стала стоить 680 рублей. На сколько процентов была снижена цена на футболку?

Одному проценту соответствует 800:100=8 рублей.

Тогда 680-ти рублям соответствует 680:8=85 процентов.

Цена была снижена на 100–85=15 процентов.

Ответ: 15

26643. Налог на доходы составляет 13% от заработной платы. Заработная плата Ивана Кузьмича равна 12500 рублей. Сколько рублей он получит после вычета налога на доходы?

Одному проценту соответствует 12500:100=125 рублей.

Тогда тринадцати процентам соответствует 125∙13=1625 рублей.

Иван Кузьмич после вычета получит 12500–1625=10875 рублей.

Ответ: 10875

26644. Налог на доходы составляет 13% от заработной платы. После удержания налога на доходы Мария Константиновна получила 9570 рублей. Сколько рублей составляет заработная плата Марии Константиновны?

Обратите внимание, что 9570 рублей это зарплата после удержания 13%. Значит 9570 это 87% от всей зарплаты. Вся зарплата это 100%.

Одному проценту будет соответствовать 9570:87=110 рублей.

Значит 100 процентам соответствует 110∙100=11000 рублей

Ответ: 11000

У этой статьи обязательно будет продолжение, так как сказано и показано ещё далеко не всё, изложено только самое начало, базовое понимание. Так что возвращайтесь на блог.

Учитесь с удовольствием.

С уважением, Александр Крутицких.