Досрочный ЕГЭ по математике 2018, профильный уровень. Здравствуйте, ребята! Здесь представлено решение задач 1-12, 13, 15, 16 досрочного экзамена, который состоялся 30 марта. После решения разместил свои комментарии и рекомендуемое время на задачу.
Время это обозначено именно для данных условий и при том учёте, что решающий имеет достаточно хорошие средние базовые знания и наработанную практику. Откровенно говоря, такой вариант на экзамене можно считать подарком. Почему?
За решение указанных выше заданий можно получить 80 баллов (для многих это мечта). При этом не нужны никакие глубокие знания способов, алгоритмов и методик решения. Всё используемое в пределах обычной школьной программы.
По поводу распределения времени на экзамене будет статья, там же размещу рекомендации для всех ребят: и математиков и не очень математиков.
Предлагаю вам скачать (открыть) файл и решить задачи 1-12 самостоятельно на время. Своё время решения укажите в комментариях.
Время 3 часа 55 минут (235 минут). Ответы к заданиям 1–12 записываются по приведённому ниже образцу в виде целого числа или конечной десятичной дроби:
Решение задач 13–19: записывается полное решение и ответ в бланке № 2.
При выполнении заданий можно пользоваться черновиком. Записи в черновике не учитываются при оценке работы. Итак задания:
1. Диагональ экрана телевизора равна 113 дюймам. Выразите диагональ экрана в сантиметрах, если в одном дюйме 2,54 см. Результат округлите до целого числа сантиметров?
Диагональ экрана телевизора будет равна 113∙2,54 = 287,02 см.
Округляем, получим 287 см.
Ответ: 287
*Комментарий. Вычисляем столбиком. Рекомендую для поддержания вычислительного навыка периодически умножать трёхзначные числа столбиком (три примера за подход) и делить, например, пятизначное число на двузначное (тоже по три примера).
Рекомендуемое время на задачу 2 минуты.
2. На рисунке показано изменение температуры воздуха на протяжении трех суток. По горизонтали указывается дата и время суток, по вертикали — значение температуры в градусах Цельсия. Определите по рисунку наибольшую температуру воздуха 17 октября. Ответ дайте в градусах Цельсия?
17 октября наибольшая температура была равна 5 градусам.
Ответ: 5
*Комментарий. В задачах с графиками и диаграммами обращайте внимание на цену деления шкалы «температура».
Рекомендуемое время на задачу 1 минута.
3. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображен прямоугольный треугольник. Найдите длину его гипотенузы.
По теореме Пифагора:
Ответ: 17
*Рекомендуемое время на задачу 2 минуты.
4. Научная конференция проводится в 3 дня. Всего запланировано 40 докладов — в первый̆ день 24 доклада, остальные распределены поровну между вторым и третьим днями. Порядок докладов определяется жеребьевкой̆. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний̆ день конференции?
На второй и третий день приходится 16 докладов, по 8 на каждый.
Вероятность того что доклад профессора запланирован на последний день равна 8 к 40, то есть 8/40=0,2
Ответ: 0,2
*Комментарий. Задача простая: на классическую вероятность. Достаточно определить число всевозможных исходов – оно равно 40 (профессор может выступить любым по счёту) и число благоприятных исходов – оно равно восьми (в последний день выступают 8 докладчиков). А дальше вычисляется отношение.
*Рекомендуемое время на задачу 2 минуты.
5. Найдите корень уравнения
Решение:
Ответ: 1
*Обязательно делайте проверку. Рекомендуемое время на задачу 2 минуты. Если вы имеете опыт вычисления степеней и помните что 32 это 2 в пятой степени, то сразу можете сделать вывод о том что х+1=2 и найти х. Тогда времени уйдёт 10 секунд на решение.
6. Стороны параллелограмма равны 12 и 15. Высота, опущенная на меньшую из этих сторон, равна 10. Найдите высоту, опущенную на большую сторону параллелограмма.
Обозначим величины прямо на эскизе, а именно — стороны и высоту, неизвестную высоту примем за х:
Воспользуемся формулой площади параллелограмма – она равна произведению стороны и высоты проведённой к ней.
Можем выразить её следующим образом:
Таким образом, искомая высота равна восьми.
Ответ: 8
*Рекомендуемое время на задачу 2 минуты. Строим эскиз, отмечаем размеры сторон и составляем уравнение.
7. На рисунке изображен график функции y=f (x) и отмечены точки –2, –1, 1, 2. В какой из этих точек значение производной̆ наибольшее? В ответе укажите эту точку.
Сразу отметим тот факт что на интервалах возрастания производная имеет положительное значение, на интервалах убывания отрицательное. На основании этого уже можем сделать вывод о том, что точки –1 и 1 не являются ответом, так производная будет иметь отрицательное значение.
Рассмотрим точки –2 и 2.
Мы знаем, что производная функции в заданной точке равна тангенсу угла между касательной проведённой к графику функции в этой точке и осью ох (это есть геометричекий смысл производной). Значение тангенса угла от 0 к 90 градусам возрастает. То есть чем ближе угол к 90 градусам, тем больше значение тангенса, а значит и значение производной.
Давайте построим касательные и сравним углы:
Касательная проведённая через в точке х=–2 образует с осью ох больший угол, значит его тангенс будет иметь большее значение и соответственно производная будет больше.
Ответ: –2
*Задача без вычислений. Достаточно знать свойства производной связанные с графиком функции, понимать геометрический смысл производной (в ходе решения можно использовать график тангенса если это удобно для вас).
Рекомендуемое время на задачу 2 минуты.
8. В цилиндрический сосуд налили 1000 см3 воды. Уровень воды при этом достигает высоты 14 см3. В жидкость полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 7 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в см3.
По закону Архимеда объем детали равен объему вытесненной ею жидкости. Объем вытесненной жидкости равен 7/14 от исходного объема:
Ответ: 500
*Комментарий. Можно выразить площадь основания цилиндра: 1000/14. Далее вычисляем объём вытесненной жидкости: площадь основания (она не меняется) умножаем на высоту 7. Получаем объём детали.
Рекомендуемое время на задачу 2 минуты.
9. Найдите значение выражения
Применяем формулу синуса двойного аргумента в числителе, и формулу приведения в знаменателе:
Ответ: 14
*Комментарий. Если в подобном выражении вы видите что углы отличаются в 2 раза, то смело применяйте формулу двойного аргумента, так же если сумма углов равна 90, 180 градусов, то формулы приведения к вашим услугам.
Рекомендуемое время на задачу 3-4 минуты.
10. Водолазный колокол, содержащий υ=5 моля воздуха при давлении p1=1,2 атмосферы, медленно опускают на дно водоема. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления p2. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением
α = 19,1 – постоянная
Т=300К – температура воздуха
p1 (атм) — начальное давление
p2 (атм) — конечное давление воздуха в колоколе
Какое давления p2 будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха совершается работа в 28650 Дж?
Подставляем данные величины в формулу и решаем уравнение:
При заданных условиях давление воздуха будет равно 2,4 атмосферы.
Ответ: 2,4
*Комментарий. Никаких лишних размышлений: подставили данные в формулу и вычислили.
Рекомендуемое время на задачу 5 минут.
11. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 775 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной̆ воде равна 28 км/ч, стоянка длится 5 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 61 час после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.
Скорость течения реки как искомую величину принимаем за x (км/ч). Тогда скорость движения теплохода по течению равна 28+х (км/ч), а его скорость против течения 28–х (км/ч).
Расстояние в ту, и в другую сторону одинаковое и равно 775 км.
Теплоход затратил на весь путь 61 час, это время состоит из следующих отрезков
61=время туда+5 часов стоянки+время обратно
Время затраченное на путь до пункта назначения
Время затраченное на путь обратно (против течения):
Подставляем данные и решаем уравнение:
Решением являются корни –3 и 3. Поскольку скорость течения положительная величина, то ответ 3 (км/ч).
Ответ: 3
*Комментарий. Если у вас хорошая практика, то в этой задаче можно обойтись без построения эскиза и составления таблицы. Искомую скорость приняли за «х». Выразили скорости (по течению и против), далее выразили время туда и обратно и составили уравнение. Обратите внимание. Что в ходе преобразований совсем не обязательно вычислять 2∙775∙28 и 56∙282, все очень хорошо сокращается на 56.
Рекомендуемое время на задачу 10 минут.
12. Найдите наибольшее значение функции у = (х2–9х+9)ех на отрезке [–5;3].
Для того чтобы определить наибольшее значение функции на отрезке (интервале) необходимо вычислить её значения в точках максимума и на границах интервала – этот алгоритм актуален для тех случаев, когда на отрезке имеется несколько экстремумов (нулей производной).
В случае когда экстремум на отрезке один, то достаточно определить поведение функции (возрастание-убывание) и вычислить значение в установленной точке максимума (минимума).
Найдём производную заданной функции:
Вычислим нули производной:
Произведение множителей равно нулю, когда какой либо из этих множителей равен нулю, значит:
ех не может быть равно нулю, так как любая степень положительного числа всегда даст в результате число положительное. Значит решением являются корни: 0 и 7.
Интервалу [–5;3] принадлежит только х=0. Она разбивает его на два интервала, определим поведение функции на них:
На интервале от –5 до 0 функция возрастает, на интервале от 0 до 3 убывает.
Таким образом, максимальное значение функции будет в точке х=0. Вычисляем:
Ответ: 9
*Комментарий. Можно не определять поведение функции (возрастание-убывание). После вычисления нулей производной, как уже было сказано в начале, достаточно вычислить значение функции на границах отрезка и в точке х=0 (принадлежащей данному отрезку). Вычисляем:
В точке –5 значение функции однозначно меньше девяти (так как знаменатель е5 в любом случае будет более 32). Таким образом, ответ 9.
Ещё! В данной задаче ответ можно дать практически сразу без вычисления производной. Как известно, ответом является целое число или конечная десятичная дробь. Значение функции будет целым при х=0 и равно оно 9. При любой дугой степени число «е» в результате даст бесконечную десятичную дробь и значение функции, естественно, получится таким же. Кроме одного случая! Есть ещё такие два х при которых квадратный трёхчлен будет равен нулю, но в этом случае значение функции получится ноль (меньше чем 9).
Рекомендуемое время на решение 5 минут (с вычислением производной).
Рекомендуемое время на решение 1 минута (без вычислением производной, если у вас хороший опыт в решении таких типов примеров).
13. а) Решите уравнение
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [-4Пи;-5Пи/2]
а) Решение. Найдём ОДЗ:
Решаем уравнение:
Корни
Отметим их на тригонометрической окружности:
б) Найдём корни уравнения, принадлежащие отрезку
*Суть способа: берём корень, составляем неравенство, решаем это неравенство, далее вычисляем коэффициент n, подставляем найденный коэффициент(ты) обратно в корень и вычисляем угол. И так для каждого полученного корня в пункте а).
Решаем неравенство для первого корня:
Так как число n целое, то n=–2. Вычислим угол, принадлежащий интервалу:
Следующий корень:
Решаем неравенство:
Значит n=–2. Вычисляем угол:
*Простейшие преобразования — используется формула синуса двойного аргумента. Процесс преобразований в тригонометрическом уравнении бывает существенно сложнее.
Рекомендуемое время на задачу 20 минут.
[/member]
14. Дана правильная четырехугольная призма ABCDA1B1C1D1. На ребре AA1 отмечена точка K так, что AK:KA=1:3. Плоскость альфа проходит через точки В и К параллельно прямой АС. Эта плоскость пересекает DD1 в точке М.
1. Докажите, что точка М середина ребра DD1
2. Найдите площадь сечения призмы плоскостью альфа, если АВ=5, AA1=4
Решение задачи вынесено отдельно, посмотреть её можно по этой ссылке.
15. Решите неравенство:
*Решение доступно (откроется) только для зарегистрированных пользователей!
Наша цель – слева знака неравенства дробь представить таким образом, чтобы в числителе и знаменателе были множители. Тогда мы сможем применить метод интервалов. Переносим слагаемые влево, приводим к общему знаменателю:
Преобразуем числитель:
В числителе и знаменателе у нас равный множитель, можем сократить его. НО! Не забываем при этом отметить, что 2х–4≠0, то есть х≠2. Иначе в результате мы получим, что 2 войдёт в интервал решение. Получаем:
Найдём х, при которых числитель и знаменатель равен нулю:
Отметим их на числовой прямой. Так как неравенство нестрогое, корень числителя х=0 закрашиваем. Корень 5 не закрашиваем (он обращает знаменатель в 0, то есть не входят в решение):
Определим знаки на интервалах, подставим –1, 3 и 6:
Знаку данного неравенства (≤) соответствует интервал [0;5), с учетом того что х≠2 решением являются [0;2) и (2;5).
Ответ: [0;2); (2;5)
*Комментарий. Основная трудность в решении — это сгруппировать множители. Обратите внимание! Сокращать дробь на множитель (2х–4) необязательно. Можно оставить в виде:
далее отметить на оси 0, 2 и 5 определить знаки на четырёх интервалах. Разумеется, ответ в итоге получится тот же.
Рекомендуемое время на задачу 30 минут.
16. Высоты тупоугольного треугольника АВС с тупым углом В пересекаются в точке Н. Угол АHС равен 600.
а) Докажите, что угол АВС=1200
б) Найдите ВН, если АВ=6, ВС=10
Построим треугольник АВС. Как известно, высоты треугольника пересекаются в одной точке (ортоцентре). Проведём все три высоты, обозначим их точку пересечения Н, также обозначим точки пересечения высот со сторонами (их продолжениями):
а) Рассмотрим прямоугольный треугольник AHF:
В прямоугольном треугольнике AEB:
Углы ЕВА и АВС смежные, следовательно:
б) Вычислим ВН. Рассмотрим треугольник HCE:
Рассмотрим прямоугольный треугольник BFC: катет BF лежит против угла 300, то есть он равен половине гипотенузы ВС, о есть BF=5.
*Далее мы можем найти HF и по теореме Пифагора вычислить ВН.
Рассмотрим треугольник AHF:
По теореме Пифагора:
Ответ: 14/√3
*Комментарий. БЕЗ комментариев! Задача-подарок, по другому сказать нельзя. Логика и знание элементарной геометрии за 8 класс.
Рекомендуемое время на задачу 15 минут.
Убедились, что задания совсем не сложные. Любой ученик со средней подготовкой решит их без долгих раздумий. Посмотрите, никаких заумных идей и приёмов в решении не используется. Условия могли быть на много сложнее. Если на основном ЕГЭ будет нечто подобное, то это будет очень хорошо.
То есть, при задачах такого же уровня сложности вы реально можете получить 80 баллов — и это без параметров, стереометрии, экономической задачи и свойств чисел. А если вы ещё и по 1-2 балла возьмёте от этих задач, то это вообще отлично. Кстати, з
*Задача по стереометрии из этого варианта размещена отдельно (это ещё плюс 4 тестовых балла.
С уважением, Александр.
*Делитесь информацией в социальных сетях.
