Задача 14 из реального ЕГЭ 2018 от 30.03.2018 (профиль). Здравствуйте, ребята! Посмотрите задачу по стереометрии, она из досрочного варианта экзамена от 30.03.2018. Вынес её отдельно. Решение указанного варианта на 80 баллов можете посмотреть здесь. Если на ЕГЭ решить ещё и данную задачу, то это ещё плюс 4 тестовых балла. Ещё раз отмечу, что такие баллы можно получить без экономики, параметров и свойств чисел.
Решение довольно развёрнутое, в символьной записи всё будет намного компактнее. Задача довольно простая и не требует применения каких-то глубоких знаний.
Дана правильная четырехугольная призма ABCDA1B1C1D1. На ребре AA1 отмечена точка K так, что AK:KA1=1:3. Плоскость альфа проходит через точки В и К параллельно прямой АС. Эта плоскость пересекает DD1 в точке М.
1. Докажите, что точка М середина ребра DD1
2. Найдите площадь сечения призмы плоскостью альфа, если АВ=5, AA1=4
Решение. Построим призму. Отметим точку К:
Известно, что прямая параллельна плоскости: если она не имеет с ней общей точки или, говоря иным языком, если она параллельна любой прямой в этой плоскости.
В условии сказано, что плоскость альфа проходит через точки В и К параллельно АС. Нам понятно, что альфа пересекает диагональную плоскость АА1С1С при чём линия их пересечения проходит через точку К.
Следовательно прямая АС будет параллельна плоскости альфа тогда когда она будет параллельна прямой проходящей через точку К.
Таким образом, построив такую прямую мы получим точку пересечения плоскости альфа и ребра СС1. Строим КL так что KL||AC:
Известно, что если плоскость пересекает две параллельные плоскости, то прямые пересечения плоскостей параллельны.
Значит отрезки по которым плоскость альфа пересекает параллельные грани АА1В1В и DD1С1С параллельны. Проведём отрезок LM||BK, затем соединим точки К и М:
Сечение построено. LM будет параллельно KB по тому же свойству.
Докажем, что точка М середина ребра DD1.
Построим LF||CD. Отметим, что AK=LC=DF (по построению это противолежащие стороны прямоугольников). Все они составляют четверть от высоты призмы.
Рассмотрим треугольники AKB и FML. Они равны по катету и строму углу:
Значит AK=FM, то есть FM от высоты призмы составляет также четвертую часть. Следовательно:
То есть точка М середина ребра DD1
*Комментарий. Как ещё можно доказать, что точка М середина указанного ребра? Посмотрите, если посмотреть на призму со второны ребра АА1, то построи таую проекцию мы увидим два подобных прямоугольных треугольника с коэффициентом подобия 2. Также если посмотреть на призму со стороны ребра ВВ1, то мы увидим, что сечение спроецируется в ромб.
Вычислим площадь сечения.
Воспользуемся следующим свойством: известно, что площадь фигуры и площадь проекции этой фигуры связана формулой. Обозначим площадь фигуры как S1, площадь проекции как S2, пусть угол между плоскостями в которых лежат фигуры равен альфа, тогда:
В нашем случае основание ABCD является проекцией сечения KBLM.
Площадь основания равна 25. Остаётся вычислить угол между плоскостями. Мы уже интуитивно понимаем, что это угол DBM. Докажем это.
Углом между плоскостями является угол между перпендикулярами проведёнными к линии пересечения плоскостей.
Или! Если плоскости альфа и бэтта пересекаются и их пересекает третья плоскость перпендикулярно линии их пересечения, то образованный двугранный угол является углом между плоскостями альфа и бэтта.
Построим линию пересечения плоскостей. Это означает, что нам необходимо найти общие точки для прямых лежащих в указанных плоскостях, мы можем построить ещё две точки (одна уже имеется это В).
Прямые МК и DA пересекутся в точке (обозначим её Р), то есть МК∩DA=P. Прямые МL и DC пересекутся в точке (обозначим её R), то есть МL∩DC=R.
Треугольник PDR равнобедренный прямоугольный (∆PDM=∆RDM по катету и острому углу, то есть PD=RD).
Прямая PR перпендикулярна DB, так как DB является биссектрисой, а значит и высотой в треугольнике PDR. DB является проекцией наклонной МВ, значит по теореме трёх перпендикулярах PR перпендикулярен МВ.
Следовательно ∠DBM это угол между сечением и основанием призмы. Таким образом:
Вычислим площадь сечения:
Ответ: 15√3
*В ответ можно записать как 5√27 так и 15√3.
