Здравствуйте! В этой публикации представлены решения типовых задач с растворами. Самое важное — показан подход, благодаря которому вы увидите как легко и быстро составлять уравнения. Плюс пара ценных советов, которые вам помогут. Что стоит отметить? Конечно же, в первую очередь то, что нужно хорошо знать понятие процента.
Ещё! В заданиях озвучиваются такие понятия как концентрация или содержание какого-то вещества в растворе (смеси). В быту вы, наверное, не раз слышали: «Концентрация составляет 95%» или «Содержание вещества 0,25». Данные понятия выражают по-сути одно и тоже. Просто представлено это по-разному: в процентах или в долевом отношении.
Если сказано, что содержание (доля) вещества 0,25 – то это означает, что его содержится 25%. Если сказано, что концентрация вещества составляет 35%, то это означает, что его доля в общем составе 0,35 (тридцать пять сотых).
О самом процессе решения!
Подходы есть разные. Можно рисовать эскизы с сосудами (колбами, бочками, цистернами и пр.), какие-то другие подобные схемы, но лучше просто составить «таблицу смешивания» и внести соответствующие данные. Тип таблицы таков:
Порядок внесения данных и дальнейшее использование в решении подробно рассмотрим в первой задаче. На сайте именно так решаются все задания на смеси, сплавы и растворы. Вы убедитесь насколько просто и корректно выглядит процесс решения.
*Небольшая оговорка. Несмотря на то что в таблицах стоит «Концентрация», значения записаны в долях, а не в процентах. Приступим:
99573. Смешали 4 литра 15-процентного водного раствора некоторого вещества с 6 литрами 25-процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
Примем концентрацию получившегося раствора за «х». Составим таблицу:
В графе «литры» записываем данные для первого и второго раствора, в третьей колонке записываем сумму (так как смешиваем). В графе «концентрация» соответственно записываем концентрацию. Далее записываем количество чистого вещества — произведение «литров» на «концентрацию».
Далее мы можем смело записать уравнение. Количество вещества в первом растворе суммируем с веществом во втором растворе и это равно количеству вещества в третьем растворе (при его концентрации равном «х»). Это так называемое «уравнение вещества»: Решаем:
То есть, концентрация составляет 21%.
Ответ: 21
Строим следующий эскиз:
Первый сосуд содержит 0,15∙4 = 0,6 литра вещества. Во втором сосуде 0,25∙6 = 1,6 литра вещества.
Получается, что в третьем сосуде будет 0,6+1,5=2,1 литра вещества.
При смешивании получили 10 литров раствора, можем записать:
Или составим пропорцию:
10 литров – 100 %
2,1 литра – х %
Ответ: 21
Решите самостоятельно:
Смешали 6 литров 12-процентного водного раствора некоторого вещества с 9 литрами 27-процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация полученного раствора?
Примем концентрацию получившегося раствора за «х». Составим таблицу:
Решаем:
Концентрация полученного раствора составляет 21 процент.
Ответ: 21
108491. В сосуд, содержащий 7 литров 26-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 6 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
Обозначим за «х» концентрацию получившегося раствора. Можем записать данные:
Значит концентрация составит 14 процентов.
Ответ: 14
Для наглядности сделаем эскиз. Изобразим сосуд с раствором схематично — так, как будто вещество и вода в нем не перемешаны между собой, а отделены друг от друга, как в коктейле. Подпишем сколько литров содержат сосуды и сколько в них процентов вещества. Концентрацию (в процентах) получившегося раствора обозначим за «х».
Первый сосуд содержит 0,26∙7=1,82 литра вещества.
Во втором сосуде была только вода.
При смешивании получили 13 литров раствора, причём в третьем сосуде столько же литров вещества, сколько и в первом, можем записать:
*Или составим пропорцию:
13 литров – 100%
1,82 литра – х%
Ответ: 14
108659. Смешали некоторое количество 15-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 17-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
Пусть масса первого раствора равна «х», масса второго будет тоже «х» (они равны). В результате получили раствор массой «2х». Концентрацию полученного раствора обозначим «у». Можем записать данные в таблице:
Таким образом, концентрация составляет 16%.
Ответ: 16
Отметим, что в условии ни об объёме, ни о массе вещества нет никаких данных. Пусть масса первого раствора равна «х». Масса второго будет тоже «х». В результате получили раствор массой «2х». Концентрация полученного раствора обозначим «у». Сделаем эскиз:
Получаем: 0,15х+0,17х=у∙2х => 0,32=2у => у =0,16.
Таким образом, концентрация составит 16%.
Ответ: 16.
У нас имеется два раствора перекиси водорода: 30-процентный и 3-процентный. Нужно их смешать так, чтобы составился 12-процентный раствор.
Обозначим массу 30%-го раствора как «х», 3%-го раствора «у». Можем записать данные следующим образом:
Решаем:
То есть, для того чтобы получился 12 процентный раствор нам нужно 3-процентного раствора взять вдвое больше, чем 30-процентного.
99577. Смешав 30-процентный и 60-процентный растворы кислоты, и добавив 10 кг чистой воды, получили 36-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 41-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 30-процентного раствора использовали для получения смеси?
Пусть масса первого (тридцати-процентного) раствора равна «х» кг, а масса второго «у» кг.
Составим таблицу для первого условия: «Смешав 30-процентный и 60-процентный растворы кислоты, и добавив 10 кг чистой воды, получили 36-процентный раствор кислоты»:
Составим таблицу для второго условия: «Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 41-процентный раствор кислоты»:
Необходимо найти «х». Решим систему:
Подставляем во второе уравнение:
Значит х=4∙30–60=60.
Для получения смеси использовали 60 кг 30-процентного раствора кислоты.
Ответ: 60
Все подобные задачи, где говорится о смешивании растворов, и даётся два условия смешивания, сводятся к решению системы двух уравнений, их нам и нужно составить.
Пусть масса первого (тридцати-процентного) раствора равна «х» кг, а массу второго примем за "у" кг.
Масса получившегося раствора равна х+у+10 кг.
Можем записать два уравнения для количества кислоты:
Решаем систему:
Записываем ответ.
99578. Имеется два сосуда. Первый содержит 30 кг, а второй — 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 68% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 70% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?
Примем концентрацию кислоты в первом сосуде за «х», а во втором за «у», тогда можем записать данные следующим образом.
Для первого условия «Первый содержит 30 кг, а второй — 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 68% кислоты»:
Для второго условия «Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 70% кислоты»:
*Массу обозначили переменной a.
Можем записать два уравнения и решить систему:
Получили, что концентрация кислоты в первом сосуде равна 0,6, в процентах это 60%. Значит количество кислоты в первом сосуде равно 30∙0,6=18 кг.
Ответ: 18
Пусть в первом растворе доля кислоты составляет «х», во втором «у».
Масса получившегося раствора равна 30+20=50 кг.
Запишем уравнение для количества кислоты 30х+20у=0,68∙50 (1).
Составим второе уравнение, суммируем равные массы растворов:
Здесь не важно по сколько килограммов данных растворов брать, так как в итоге в уравнении коэффициенты «а» всё равно сократятся. Например, это уравнение можно было записать в частном виде:
Решаем систему:
Таким образом, в первом сосуде содержится 30∙0,6=18 кг кислоты.
*Примечание: если бы за «x» и «y» мы приняли концентрацию содержания кислоты в процентах, то уравнения имели бы вид:
Таким образом, в первом сосуде содержится 18.
Ответ: 18
Убедились, что процесс понятен и прост? На этом всё. Вас ждут ещё задачи про виноград, сплавы и другие.
Материал предоставил репетитор по математике и информатике из Челябинска Евгений Маслов.
С уважением, Александр.
*Делитесь информацией в социальных сетях!
