Самые хитрые задачи на ЕГЭ по математике
Подготовка к ЕГЭ по математике. Челябинск!

Имеется два сосуда. Первый содержит

Здравствуйте! В этой публикации представлены решения типовых задач с растворами. Самое важное — показан подход, благодаря которому вы увидите как легко и быстро составлять уравнения. Плюс пара ценных советов, которые вам помогут. Что стоит отметить? Конечно же, в первую очередь то, что нужно хорошо знать понятие процента.

Ещё! В заданиях озвучиваются такие понятия как концентрация или содержание какого-то вещества в растворе (смеси). В быту вы, наверное, не раз слышали: «Концентрация составляет 95%» или «Содержание вещества 0,25». Данные понятия выражают по-сути одно и тоже. Просто представлено это по-разному: в процентах или в долевом отношении.

Если сказано, что содержание (доля) вещества 0,25 – то это означает, что его содержится 25%.  Если сказано, что концентрация вещества составляет 35%, то это означает, что его доля в общем составе 0,35 (тридцать пять сотых).

О самом процессе решения!

Подходы есть разные. Можно рисовать эскизы с сосудами (колбами, бочками, цистернами и пр.), какие-то другие подобные схемы, но лучше просто составить «таблицу смешивания» и внести соответствующие данные. Тип таблицы таков:

Порядок внесения данных и дальнейшее использование в решении подробно рассмотрим в первой задаче. На сайте именно так решаются все задания на смеси, сплавы и растворы. Вы убедитесь насколько просто и корректно выглядит процесс решения.

*Небольшая оговорка. Несмотря на то что в таблицах стоит «Концентрация», значения записаны в долях, а не в процентах. Приступим:

99573. Смешали 4 литра 15-процентного водного раствора некоторого вещества с 6 литрами 25-процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Примем концентрацию получившегося раствора за «х». Составим таблицу:

В графе «литры» записываем данные для первого и второго раствора, в третьей колонке записываем сумму (так как смешиваем). В графе «концентрация» соответственно записываем концентрацию. Далее записываем количество чистого вещества — произведение «литров» на «концентрацию».

Далее мы можем смело записать уравнение. Количество вещества в первом растворе суммируем с веществом во втором растворе и это равно количеству вещества в третьем растворе (при его концентрации равном «х»). Это так называемое «уравнение вещества»: Решаем:

То есть, концентрация составляет 21%.

Ответ: 21

*Можно было решить следующим образом >>>

Строим следующий эскиз:

Первый сосуд содержит 0,15∙4 = 0,6 литра вещества. Во втором сосуде 0,25∙6 = 1,6 литра вещества.

Получается, что в третьем сосуде будет  0,6+1,5=2,1 литра вещества.

При  смешивании получили 10 литров раствора, можем записать:

Или составим пропорцию:

10 литров  – 100 %

2,1 литра   –  х %

Ответ: 21

Решите самостоятельно:

Смешали 6 литров 12-процентного водного раствора некоторого вещества с 9 литрами 27-процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация полученного раствора?

Решение Показать/Скрыть

Примем концентрацию получившегося раствора за «х». Составим таблицу:

Решаем:

Концентрация полученного раствора  составляет 21 процент.

Ответ: 21

108491. В сосуд, содержащий 7 литров 26-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 6 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Обозначим за «х» концентрацию получившегося раствора. Можем записать данные:

Значит концентрация составит 14 процентов.

Ответ: 14

*Другой вариант оформления решения Показать/Скрыть

Для наглядности сделаем эскиз. Изобразим сосуд с раствором схематично — так, как будто вещество и вода в нем не перемешаны между собой, а отделены друг от друга, как в коктейле. Подпишем сколько литров содержат сосуды и сколько в них процентов вещества. Концентрацию (в процентах) получившегося раствора обозначим за «х».

Первый сосуд содержит 0,26∙7=1,82 литра вещества.

Во втором сосуде была только вода.

При  смешивании получили  13 литров раствора, причём в третьем сосуде столько же литров вещества, сколько и в первом, можем записать:

*Или составим пропорцию:

13  литров  –  100%

1,82 литра  –   х%

Ответ: 14

108659. Смешали некоторое количество 15-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 17-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Пусть масса первого раствора равна «х», масса второго будет тоже «х» (они равны). В результате получили раствор массой «2х». Концентрацию полученного раствора обозначим «у». Можем записать данные в таблице:

Таким образом, концентрация составляет 16%.

Ответ: 16

*Посмотреть другой вариант оформления >>>

Отметим, что в условии ни об объёме, ни о массе вещества нет никаких данных. Пусть масса первого раствора равна «х». Масса второго будет тоже «х». В результате получили раствор массой «2х». Концентрация полученного раствора обозначим «у». Сделаем эскиз:

Получаем: 0,15х+0,17х=у∙2х   =>  0,32=2у   =>  у =0,16.

Таким образом, концентрация составит 16%.

Ответ: 16.

У нас имеется два раствора перекиси водорода: 30-процентный и 3-процентный. Нужно их смешать так, чтобы составился 12-процентный раствор.

Обозначим массу 30%-го раствора как «х», 3%-го раствора «у». Можем записать данные следующим образом:

Решаем:

То есть, для того чтобы получился 12 процентный раствор нам нужно 3-процентного раствора взять вдвое больше, чем 30-процентного.

99577. Смешав 30-процентный и 60-процентный растворы кислоты, и добавив 10 кг чистой воды, получили 36-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 41-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 30-процентного раствора использовали для получения смеси?

Пусть масса первого (тридцати-процентного) раствора равна «х» кг, а масса второго «у» кг.

Составим таблицу для первого условия: «Смешав 30-процентный и 60-процентный растворы кислоты, и добавив 10 кг чистой воды, получили 36-процентный раствор кислоты»:

Составим таблицу для второго условия: «Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 41-процентный раствор кислоты»:

Необходимо найти «х». Решим систему:

Подставляем во второе уравнение:

Значит х=4∙30–60=60.

Для получения смеси использовали 60 кг 30-процентного раствора кислоты.

Ответ: 60

*Ещё вариант оформления задачи >>>

Все подобные задачи, где говорится о смешивании растворов, и даётся два условия смешивания, сводятся к решению системы двух уравнений, их нам и нужно составить.

Пусть масса первого (тридцати-процентного) раствора равна «х» кг, а массу второго примем за  "у"  кг.

Масса получившегося раствора равна х+у+10 кг.

Можем записать два уравнения  для количества кислоты:

Решаем систему:

Записываем ответ.

99578. Имеется два сосуда. Первый содержит 30 кг, а второй  — 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 68% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 70% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?

*Решение задачи доступно только для зарегистрированных пользователей! А также решение нескольких заданий на растворы. Вкладка регистрации (входа) находится в ГЛАВНОМ МЕНЮ сайта. После прохождения регистрации войдите на сайт и обновите данную страницу.

Убедились, что процесс понятен и прост? На этом всё. Вас ждут ещё задачи про виноград, сплавы и другие.

Материал предоставил репетитор по математике и информатике из Челябинска Евгений Маслов.

С уважением, Александр.

*Делитесь информацией в социальных сетях!


Подготовка к ОГЭ по математике. Полный курс!

Школа репетиторов Анны Малковой!

Онлайн-обучение, подготовка к ЕГЭ и ОГЭ по предметам!

Все секреты здоровья позвоночника!

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

4 × один =

*Нажимая на кнопку, я даю согласие на рассылку, обработку персональных данных и принимаю политику конфиденциальности.