Правильный шестиугольник вписанный в окружность. К вашему вниманию типичная задача, которая встречается в школьном курсе математики. Сначала небольшое теоретическое отступление. Информацию о шестиугольнике и окружности можно посмотреть здесь и тут.
Известно, что в правильном шестиугольнике расстояния от центра до его вершин равны, также это расстояние равно стороне шестиугольника. То есть правильный шестиугольник состоит как бы из шести равносторонних треугольников «сложенных» друг с другом.
ГДЗ по геометрии 9 класс Атанасян Л. С.
Задача 1097. Найдите отношение площадей двух правильных шестиугольников – вписанного в окружность и описанного около неё.
Как правило, когда дано такое условие большинство ребят привыкли строить эскиз следующим образом:
*Конечно, можно построить диагонали и высоты образованных равносторонних треугольников. Далее обозначить сторону описанного шестиугольника, например, за «х» и вычислять их площади.
Мы поступим следующим образом: повернём вписанный шестиугольник по часовой стрелке на 30 градусов и разобьём (диагоналями) на 6 равносторонних треугольников:
Видно, что сторона вписанного шестиугольника равна высоте описанного. Кроме того, очевидно, что рассматриваемые шестиугольники подобны. Вспомним свойства подобия фигур:
=> отношение сторон подобных фигур равно коэффициенту подобия, то есть
=> отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия, то есть
Для того чтобы вычислить отношение площадей шестиугольников нам достаточно найти отношение площадей двух равносторонних треугольников (маленького и большого):
*Как уже сказано: сторона маленького треугольника равна высоте большого.
Мы знаем, что в равностороннем треугольнике со стороной «х» его высота равна
*Это несложное вычисление, можно использовать теорему Пифагора.
Значит отношение сторон оговоренных треугольников будет равно:
Мы получили коэффициент подобия.
Таким образом, отношение площадей треугольников (малого и большого), а значит и вписанного и описанного шестиугольников будет равно квадрату этого коэффициента:
Ответ: 0,75
Ещё вариант решения!
Мы можем найти отношение площадей оговоренных выше равносторонних треугольников. Используем формулу площади треугольника:
Сторону большего треугольника принимаем за х, следовательно площадь будет равна:
Сторона меньшего треугольника будет равна (х√3)/2, тогда его площадь:
Отношение площади меньшего к площади большего равно:
Итог: мы построили эскиз, вычислили отношение сторон шестиугольников (отношение сторон равносторонних треугольников), далее использовали свойство подобия.
*Комментарий: не смотря на то что объяснение решения изложено несколько ёмко, на самом деле сам процесс вычисления очень прост и при понимании осуществляется в течение минуты. Здесь важна сама идея решения, а именно: использование свойства подобия фигур. И, безусловно, время затраченное на поиск результата будет значительно меньше, чем если бы мы вычисляли отношение площадей другим способом.
Дополнение! Важен один момент: необходимо внимательно прочитать условие. Здесь сказано, что необходимо найти отношение площадей вписанного и описанного шестиугольника. Если же будет стоять вопрос о нахождении отношения площади описанного и вписанного шестиугольника, то результат будет другой. Подробнее:
Отношение сторон большого и малого треугольников будет равно:
Это есть коэффициент подобия. Значит его квадрат будет равен:
То есть отношение площадей в этом случае будет равно 4/3.
Материал предоставил репетитор по математике, ведущий курсов ЕГЭ по математике и информатике в городе Челябинск Евгений Маслов.
C уважением, Александр Крутицких.
*Делитесь информацией в социальных сетях.
