Подготовка к ЕГЭ по математике бесплатно!
Поздравительный ролик из фото на заказ!

Правильный шестиугольник вписанный в окружность

Правильный шестиугольник вписанный в окружность. К вашему вниманию типичная задача, которая встречается в школьном курсе математики. Сначала небольшое теоретическое отступление. Информацию о шестиугольнике и окружности можно посмотреть здесь и тут.

Известно, что в правильном шестиугольнике расстояния от центра до его вершин равны, также это расстояние равно стороне шестиугольника. То есть правильный шестиугольник состоит как бы из шести равносторонних треугольников «сложенных» друг с другом.

ГДЗ по геометрии 9 класс Атанасян Л. С.

Задача 1097. Найдите отношение площадей двух правильных шестиугольников – вписанного в окружность и описанного около неё.

Как правило, когда дано такое условие большинство ребят привыкли строить эскиз следующим образом:

*Конечно, можно построить диагонали и высоты образованных равносторонних треугольников. Далее обозначить сторону описанного шестиугольника, например, за «х» и вычислять их площади.

Мы поступим следующим образом: повернём вписанный шестиугольник по часовой стрелке на 30 градусов и разобьём (диагоналями) на 6 равносторонних треугольников:

Видно, что сторона вписанного шестиугольника равна высоте описанного. Кроме того, очевидно, что рассматриваемые шестиугольники подобны. Вспомним свойства подобия фигур:

=> отношение сторон подобных фигур равно коэффициенту подобия, то есть

=> отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия, то есть

Для того чтобы вычислить отношение площадей шестиугольников нам достаточно найти отношение площадей двух равносторонних треугольников (маленького и большого):

*Как уже сказано: сторона маленького треугольника равна высоте большого.

Мы знаем, что в равностороннем треугольнике со стороной «х» его высота равна

*Это несложное вычисление, можно использовать теорему Пифагора.

Значит отношение сторон оговоренных треугольников будет равно:

Мы получили коэффициент подобия.

Таким образом, отношение площадей треугольников (малого и большого), а значит и вписанного и описанного шестиугольников будет равно квадрату этого коэффициента:

Ответ: 0,75

Ещё вариант решения!

Мы можем найти отношение площадей оговоренных выше равносторонних треугольников. Используем формулу площади треугольника:

Сторону большего треугольника принимаем за х, следовательно площадь будет равна:

Сторона меньшего треугольника будет равна (х√3)/2, тогда его площадь:

Отношение площади меньшего к площади большего равно:

Итог: мы построили эскиз, вычислили отношение сторон шестиугольников (отношение сторон равносторонних треугольников), далее использовали свойство подобия.

*Комментарий: не смотря на то что объяснение решения изложено несколько ёмко, на самом деле сам процесс вычисления очень прост и при понимании осуществляется в течение минуты. Здесь важна сама идея решения, а именно: использование свойства подобия фигур. И, безусловно, время затраченное на поиск результата будет значительно меньше, чем если бы мы вычисляли отношение площадей другим способом.

Дополнение! Важен один момент: необходимо внимательно прочитать условие. Здесь сказано, что необходимо найти отношение площадей вписанного и описанного шестиугольника. Если же будет стоять вопрос о нахождении отношения площади описанного и вписанного шестиугольника, то результат будет другой. Подробнее:

Отношение сторон большого и малого треугольников будет равно:

Это есть коэффициент подобия. Значит его квадрат будет равен:

То есть отношение площадей в этом случае будет равно 4/3.

Материал предоставил репетитор по математике, ведущий курсов ЕГЭ по математике и информатике в городе Челябинск Евгений Маслов.

C уважением, Александр Крутицких.

*Делитесь информацией в социальных сетях.


Подготовка к ОГЭ по математике. Полный курс!

Школа репетиторов Анны Малковой!

Онлайн-обучение, подготовка к ЕГЭ и ОГЭ по предметам!

50 базовых упражнений лечебной физкультуры!

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

*

code