Подготовка к ЕГЭ по математике 2017 бесплатно!
Программируемые LEGO конструкторы! Посмотреть!

Что ещё нужно знать для решения задач по стереометрии на ЕГЭ?

   Здравствуйте, Дорогие друзья!  В предыдущей статье были представлены основные формулы, которые необходимы для решения задач по стереометрии на экзамене по математике, и не только. Эти формулы знать НЕОБХОДИМО!

По ходу учебного процесса, при систематическом решении задач, все они запоминаются и откладываются в памяти крепко и надолго. Учите их, практикуйтесь в решении задач, они запомнятся, ни куда не денутся ;). К домашнему заданию добавляйте ещё пару задач самостоятельно. Понимаю, что никому не хочется создавать себе дополнительную работу, но ваш результат на будущем ЕГЭ целиком зависит только от вас.

В этой статье хочу напомнить вам некоторые теоретические факты, которые необходимы для  решения ряда задач по стереометрии. В этих примерах речь идёт о площади поверхности тел и объёме (относится к призме, параллелепипедам и другим телам). Данные факты используются во многих типах заданий. Уверен, представленная ниже информация вам известна, но всё же...

Не буду их здесь делить на теоремы, свойства, следствия и объяснять что из чего исходит. Предлагаю вам освежить их в памяти и запомнить  именно как факты.

Немало задач, где при решении необходимо помнить, что:

1. У прямоугольного треугольника вписанного в окружность гипотенуза совпадает с диаметром. Центр этой окружности совпадает с серединой гипотенузы.

Если в окружность вписан треугольник и одна его сторона совпадает с диаметром этой окружности, то треугольник является прямоугольным.

То есть, если мы на диаметре окружности построим треугольник, вершина которого будет лежать на любой точке окружности, то такой треугольник будет являться прямоугольным.

 

2. Во многих типах задач часто говорится об отрезке, который соединяет середины двух соседних сторон треугольника. Понятно, что речь идёт о средней линии треугольника. Что мы о ней знаем?

Средняя линия треугольника – это отрезок, концы которого лежат на серединах двух соседних сторон данного треугольника, она параллельна третьей стороне и равна её половине

Что нам это даёт?

— Она отсекает от исходного треугольника подобный ему.

— Коэффициент подобия равен k = 0,5. Так как стороны отсечённого треугольника равны половине сторон исходного.

— Все линейные элементы отсечённого треугольника равны половине соответствующих им элементам исходного (стороны, высоты, медианы, биссектрисы, а также  периметр треугольника).

— Площадь отсечённого треугольника равна одной четвёртой площади исходного треугольника. Это подтверждается формулой взаимосвязи площадей подобных фигур:

 

*А также равенством треугольников, посмотрите  рисунок:

AD = DB, BE = EC, AF = FC, DE = AF, EF = AD, DF= EC

Треугольники равны по третьему признаку (по трём сторонам). Хотя и остальные признаки равенства треугольников также применимы.

4. Есть не мало задач, где речь идёт об изменения объёма (пирамиды, куба, параллелепипеда, шара), путём увеличения или уменьшения рёбер (радиуса)  в определённое количество раз. То есть  речь идёт о подобных телах. Помните о том, что есть формула, которая связывает объёмы подобных тел:

Пример подобных тел:

*Ещё пример: плоскость параллельная основанию конуса и  проходящая перпендикулярно его высоте отсекает  конус подобный исходному

5. Кроме того, есть много задач, в которых фигурируют правильные пирамиды. Напомню, что это пирамиды в основании которых лежит правильный многоугольник (в наших задачах – правильный треугольник, квадрат, правильный шестиугольник). Что необходимо запомнить здесь?

Высота опущенная из вершины к основанию пирамиды проходит через середину этого основания

или

Отрезок соединяющий вершину правильной пирамиды и середину её основания является высотой пирамиды

 

6. Есть группа задач, где речь идёт о правильной шестиугольной призме (в основании  лежит правильный шестиугольник). Условия и вопросы  различные, но знание следующих фактов о правильном шестиугольнике считаю необходимым:

1. Стороны правильного шестиугольника равны.

2. Углы при вершинах равны 120 градусам.

3. Около правильного шестиугольника можно описать окружность.

4. Радиус окружности описанной около правильного шестиугольника равен сторонам этого шестиугольника.

5. Расстояние между двумя диаметрально противоположными вершинами (это диаметр описанной окружности) равно двум сторонам этого шестиугольника. 

*Правильный шестиугольник как бы состоит из шести сложенных друг с другом равносторонних треугольников. 

Ещё стоит отметить некоторые моменты. Их нетрудно вывести, но предлагаю запомнить их и положить в копилку ваших математических навыков. Простыми словами можно сказать так:

Отрезок соединяющий две вершины правильного шестиугольника (при чём этот отрезок не проходит через центр), отсекает треугольник площадь которого равна одной шестой площади данного шестиугольника

Нетрудно сделать и следующие выводы:

Я не говорю о том, что если вы не запомните представленную информацию, то задачи вам этой группы не решить. Нет! При наличии хорошей математической базы, и владения навыками решения стереометрических и планиметрических задач проблем при решении не будет никаких. Вы с лёгкостью вспомните теорию и быстро сделаете необходимые выводы. Но помня указанные выше моменты, вы сэкономите время и проведёте решение в два раза быстрее.

Отмечу, что для решения ряда задач, связанных с увеличением (уменьшением) ребра в параллелепипеде, пирамиде, кубе, либо радиуса конуса или шара, и стоит вопрос об изменении объёма, существует более рациональный метод, чем тот который используется при обучении в школьной программе. Мы с вами его изучим. Вы удивитесь простоте подхода, задачи решаются практически в одну строчку, не пропустите!

На десерт небольшое видео. Как говорится, тренировка и труд всё перетрут.

Успехов вам!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.


Подготовка к ОГЭ по математике. Полный курс!

Школа репетиторов Анны Малковой. Супер тренинг!

Онлайн-обучение, подготовка к ЕГЭ и ОГЭ по предметам!

50 базовых упражнений лечебной физкультуры!

Отзывов (4)
  1. Svetlana

    Самый лучший сайт.!!!

  2. Валентина

    Очень хороший сайт!!

  3. freund

    Там, где речь идет про отрезок соединяющий две вершины правильного шестиугольника и одну шестую площади данного шестиугольника, опечатка в выводе о равенстве площадей четырех треугольников. Не S (COF), a S (COE) должно быть.

    • Александр

      Большое спасибо! Поправил ))

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

*