Подготовка к ЕГЭ по математике 2017 бесплатно!
Программируемые LEGO конструкторы! Посмотреть!

Площадь треугольника

    Площадь треугольника. Здравствуйте, Дорогие друзья! В очень многих задачах по геометрии связанных с вычислением площадей, в том числе заданиях на ЕГЭ, используются формулы площади треугольника. Их существует несколько, здесь мы рассмотрим основные.

Перечислять эти формулы было бы слишком просто, этого добра и так хватает в справочниках и на различных сайтах. Мне хотелось бы донести суть некоторых из них. После изучения материала статьи вы поймёте, что все формулы учить не нужно, их необходимо понимать.

Вы без труда сможете восстановить в памяти, если вдруг они «вылетят» в нужный момент. Итак, сначала давайте рассмотрим параллелограмм. Определение гласит:

Почему так? Всё просто! Чтобы показать наглядно в чём смысл формулы, выполним некоторые дополнительные построения:

Площадь треугольника (2) равна площади треугольника (1), мысленно «отрежем» второй и перенесём его наложив на первый, получим прямоугольник, площадь которого равна площади исходного параллелограмма:

Площадь прямоугольника, как известно, равна произведению его соседних сторон. Как видно по эскизу, одна сторона полученного прямоугольника равна стороне параллелограмма, а другая его высоте, проведённой  к этой стороне. Поэтому и получаем формулу площади параллелограмма  S = a∙ha

Продолжим,  ещё одна формула его площади. Имеем:

Выразим высоту ha  в прямоугольном треугольнике, где b является гипотенузой:

Подставляем ha в формулу площади, получаем:

С параллелограммом разобрались. Перейдём к треугольнику.

Площадь треугольника. Шесть формул!

Первая формула

Диагональ параллелограмма разбивает его на два равных по площади треугольника:

Следовательно площадь треугольника будет равна половине площади параллелограмма:

*То есть если нам будет известна любая сторона треугольника и высота опущенная на эту сторону, то мы всегда сможем вычислить площадь этого треугольника.

Формула вторая

Как уже сказано формула площади параллелограмма имеет вид:

Площадь треугольника равна половине его площади, значит:

*То есть если будут известны любые две стороны в треугольнике и угол между ними, мы всегда сможем вычислить площадь такого треугольника.

Формула Герона (третья)

Данную формулу выводить сложно и вам это ни к чему. Посмотрите какая она красивая, можно сказать, что сама запоминается.

*Если даны три стороны треугольника, то по данной формуле мы всегда можем вычислить его площадь.

Формула четвёртая

где r – радиус вписанной окружности

*Если известны три стороны треугольника и радиус вписанной в него окружности, то мы всегда можем найти площадь этого треугольника.

Формула пятая

где R – радиус описанной окружности.

*Если известны три стороны треугольника и радиус описанной около него окружности, то мы всегда можем найти площадь такого треугольника.

Возникает вопрос: если  известны три стороны треугольника, то не проще ли его площадь найти по формуле Герона!

Да, бывает проще, но не всегда, иногда возникает сложность. Это связано с извлечением корня. Кроме того, данные формулы очень удобно применять в задачах, где дана площадь треугольника, его стороны и требуется найти радиус вписанной или описанной окружности. Такие задания имеются  в составе ЕГЭ.

Давайте отдельно рассмотрим формулу:

Она является частным случаем формулы площади многоугольника, в который вписана окружность:

Рассмотрим её на примере пятиугольника:

Соединим центр окружности с вершинами данного пятиугольника и опустим из центра перпендикуляры к его сторонам. Получим пять треугольников, при чём  опущенные перпендикуляры являются радиусами вписанной окружности:

Площадь пятиугольника равна:

Теперь понятно, что если речь идёт о треугольнике, то данная формула приобретает вид:

Формула шестая

Это следствие из формулы:

Пусть сторона треугольника равна a, из противоположной вершины к этой стороне проведён произвольный отрезок образующий с ней угол (фи):

Тогда

Данная формула используется очень редко на практике, возможно вы её видите впервые, ну так просто написал, чтобы знали. Её ещё можно вывести преобразовав формулу площади четырёхугольника:

Что добавить? Есть ещё формулы треугольника связанные с координатами его вершин, векторами на которых он построен. Об этом будет статья в будущем, информация полезная, не пропустите!

На этом всё! Успеха Вам!

С уважением, Александр Крутицких 

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.


Подготовка к ОГЭ по математике. Полный курс!

Школа репетиторов Анны Малковой. Супер тренинг!

Онлайн-обучение, подготовка к ЕГЭ и ОГЭ по предметам!

50 базовых упражнений лечебной физкультуры!

Отзывов (4)
  1. Альберт

    Большое вам СПАСИБО за вашу колоссальную помощь!

    • Александр Крутицких

      Альберт, от души!!! Рад, что мои «произведения» вам помогают.

  2. Татьяна

    Рекомендовала ученикам.

  3. Александр

    «Данная формула используется очень редко на практике, возможно вы её видите впервые, ну так просто написал, чтобы знали. Её ещё можно вывести преобразовав формулу площади четырёхугольника:»

    ...

    тут автор не уточнил, какой именно четырёхугольник (к трапеции или произвольному четырёхугольника данная формула не подойдёт или подойдёт к любому четырёхугольнику?).

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

*