Подготовка к ЕГЭ по математике 2017 бесплатно!
Программируемые LEGO конструкторы! Посмотреть!

Четырёхугольник вписан в окружность

Четырёхугольник вписан в окружность (задачи). Продолжаем рассматривать задания входящие в состав ЕГЭ по математике. В этой статье мы решим несколько задач с использованием свойств вписанного угла. Теория была подробно уже изложена, обязательно посмотрите. В указанной статье решение заданий по сути сводилось к применению свойства вписанного угла сразу же, то есть задания решались практически в одно действие. Здесь  нужно немного подумать, ход решения не всегда с ходу очевиден.

Применяются: теорема о сумме углов треугольника, свойства вписанного угла, свойство четырёхугольника вписанного в окружность. О последнем подробнее.

Это свойство было уже представлено, но в другой интерпретации. Итак:

Свойства четырехугольника вписанного в окружность

Вписанный четырехугольник — это четырехугольник, все вершины которого лежат на одной окружности.

Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов равны 180  градусам.

То есть, если мы имеем вписанный в окружность четырёхугольник, то сумма его противоположных углов равна 180 градусам.

Рассмотрим задачи:

27870. В окружности с центром O AC и BD  — диаметры. Центральный угол AOD равен 1100. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Треугольник  BОC  равнобедренный, так как ОС=ОВ (это радиусы). Известно, что сумма углов треугольника равна 180 . Рассмотрим углы BOC и AOD:

Следовательно

Углы при основании равнобедренного треугольника равны, то есть

Другой способ:

Угол АОВ является центральным углом для вписанного угла АСВ.

По свойству вписанного в окружность  угла

Сумма смежных углов равна 1800, значит

Таким образом,

Ответ: 35

27871. Угол А четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 580. Найдите угол C этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

Здесь достаточно вспомнить свойство четырёхугольника вписанного в окружность. Известно, что сумма противоположных углов такого четырёхугольника равна 180 градусам, значит угол С будет равен

Второй способ:

Построим ОВ и OD.

По свойству вписанного угла градусная величина дуги BCD равна

2∙580 = 1160

Следовательно,  градусная величина дуги BAD будет равна

3600 – 1160 = 2440

По свойству вписанного угла угол С будет в два раза меньше, то есть 1220.

Ответ: 122

27872. Стороны четырехугольника ABCD  AB, BC, CD и AD стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно 950, 490, 710, 1450. Найдите угол B этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

Построим радиусы АО, OD, OC.

Градусная величина дуги AD равна 1450, градусная величина дуги СD равна 710, значит градусная величина дуги АDС равна 1450 + 710 = 2160.

По свойству вписанного угла  угол В будет в два раза меньше центрального угла соответствующего дуге АDС, то есть

Ответ: 108

27874. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 1050, угол CAD равен 350. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Данная задача может вызвать затруднение. Сразу невозможно явно увидеть ход решения. Вспомним, что известно про вписанный в окружность четырёхугольник: сумма его противоположных сторон равна 180 градусам. Можем найти

На данный момент мы нашли тот угол, который сразу же возможно определить по известному свойству. Если есть возможность найти какую-либо величину, сделайте это, пригодится. Действуем по принципу «находим то, что можно найти исходя из данных величин».

Далее используя  теорему о сумме углов треугольника найдём угол ACD:

Вписанные углы ABD и ACD опираются на одну и туже дугу, это означает, что они равны, то есть

Ответ: 70

27875. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 750, угол CAD равен 350. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

Известно, что вписанные углы опирающиеся на одну и ту же дугу, и лежащие от неё по одну сторону равны. Следовательно

В треугольнике ACD известно два угла, можем найти третий:

Далее воспользуемся свойством – известно, что у вписанного в окружность четырехугольника сумма противолежащих углов равна 1800, значит

Ответ: 110

27869. AC и BD — диаметры окружности с центром O. Угол ACB равен 380. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

Посмотреть решение

27873. Точки A, B, C, D, расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги AB, BC, CD и AD, градусные величины которых относятся соответственно как 4:2:3:6. Найдите угол A четырехугольника ABCD. Ответ дайте в градусах.

Посмотреть решение

27876. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 1100, угол ABD равен 700. Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах.

Посмотреть решение

Отмечу, что важно помнить указанные свойства и задачи вы решите без проблем. Конечно, можно выстроить решение не совсем корректно. Например, в задаче 27876 для самостоятельного решения приведено «длинное», или как ещё говорят нерациональное решение. Ничего страшного, если вы именно также решите задачу.

Главное чтобы вы помнили и применяли теорию, и в конечном итоге РЕШИЛИ задание.

В данной рубрике продолжим рассматривать задачи, приглашаю вас на блог!

На этом всё. Успеха вам!

С уважением, Александр Крутицких

Комиссия спрашивает у директора простой сельской школы:
— По какой причине у вас все дети говорят: пришедши, ушедши?
— А кто их знает, может они так привыкши!

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.


Подготовка к ОГЭ по математике. Полный курс!

Школа репетиторов Анны Малковой. Супер тренинг!

Онлайн-обучение, подготовка к ЕГЭ и ОГЭ по предметам!

50 базовых упражнений лечебной физкультуры!

Отзывов (6)
  1. Альберт

    У меня к вам вопрос.

    В задаче 27875 видно, что угол ABC опирается на две дуги AD и DC, которые равны 75 и 35 соответственно. То бишь в сумме дают 110 градусов. НО угол ABC ведь вписанный, так почему мы не поделили на 2?

    • Альберт

      Просто в аналогичном задании 27876 вы поделили на 2

      • Альберт

        А все, кажется разобрался. Одно дело, когда известна величина дуги, а другое-величина угла.

  2. Александр Крутицких

    Да, следует всегда помнить, что угловая мера дуги в два раза больше вписанного угла построенного на ней же. Но в этой задаче, кстати есть решение ещё проще: вписанные углы CAD и DBC равны, то есть DBC равен 35 градусов. А далее чтобы найти искомый угол нужно DBC+ABD=110.

    Как видим задача на устный счёт, только нужно правильно и быстро «увидеть» решение. Рекомендую прямо на эскизе подписывать все углы, которые можно найти с помощью свойств, а уже потом производить вычисления, если они необходимы.

  3. anatol

    Александр задача 27872 решена методически не верно.

    Прежде всего центральный угол по определению

    не может быть более 180 градусов.Да и проведение радиусов не нужно.

    Просто вписанный угол ABC опирается на дугу CDA= дуга CD + дуга DA

    и т. д. Не нужно выражать вписанный угол через центральный угол. Лучше использовать осн. свойство вписанного угла: он равен половине дуги на которую опирается. С ув. А. П.

    С ув. А.П.

    • Александр Крутицких

      Здравствуйте! Замечание понятно. Дело в том, что при размещении решений я умышленно исключил для себя понятие «методически неверно», у меня много «вольностей» на блоге. У многих задач есть более рациональные решения, чем изложенные здесь, но это не минус для меня. Важно понимание, и если ученик решит задание в 5 действий вместо 2, отлично!

      Я понимаю, что математика наука строгая и желательно соблюдать методологию. Но цель у меня прежде всего «достучаться» до понимания процесса. Ваше решение практически то же, согласитесь, только форма записи изменена.

      По поводу вписанного угла. Важно, что свойство вписанного угла работает и для мною придуманного (большего 180) центрального угла, и пусть меня закидают помидорами настоящие математики.

      С уважением!

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

*