Неравенства с логарифмами

Неравенства с логарифмами. Здравствуйте! В этой публикации мы с вами рассмотрим неравенство с логарифмами. Сразу скажу, что это задание разобрано Валерием Волковым на его канале и автор предлагает отличный способ.

Но! Рекомендую сначала попробовать решить самостоятельно, затем посмотреть решение изложенное здесь, а уже потом пройти по ссылке выше и посмотреть решение Валерия. Интересно ваше мнение: какое решение удобнее и актуальнее на практике по вашему мнению? Как получилось решить у вас? Итак, пример:

Известно, что по определению логарифма выражение под его знаком  больше нуля. Определим ограничения для х (ОДЗ):

*Здесь существует катастрофическая возможность попасть в «ловушку» и потратить некоторое время (для многих значительное) на решение системы неравенств. Кроме того, во втором неравенстве в числителе получится многочлен третьей степени и для многих это может стать неожиданностью:

Возникнет вопрос: Как же быть? Ведь как-то попроще решались неравенства в тренировочных вариантах и на досрочном ЕГЭ…

Далеко не всегда нужно вычислять и действовать по стандартному алгоритму решения системы неравенств. Посмотрите! В первом неравенстве х–1>0. Применяя это условие ко второму неравенству мы видим что оно будет верным:

Применяя это условие к третьему неравенству мы видим что и оно будет верным:

Значит ограничение таково: х>1. Решаем неравенство

Разложить на множители данный многочлен весьма проблематично без знания специальных подходов. Здесь не сработает  группировка, формулы сокращённого умножения, подбор целых корней, теоремы Безу и метод Горнера. Вообщем, это как бы тупик и многие, наверняка, на том этапе бросили попытки решения.

Рекомендация! Если вы никак не можете разложить подобный многочлен и не срабатывает ни один из подходов, то из личного опыта могу посоветовать следующее:

Сначала для себя определите: пересекает ли график ось ох в принципе, то есть существуют ли корни. Может так оказаться, что при всех «х» функция будет положительна. Как это сделать?

Простой подстановкой чисел: например при х=0 получится  –3, а при 10 результат будет явно больше нуля. Значит имеются значения х при которых многочлен равен нулю.

Теперь запомните для себя такие многочлены:

При делении имеющегося многочлена на один из представленных вполне возможно получить многочлен (без остатка). Способ подбора ещё никто не отменял и за такое решение балл не снизят. Да! Это неудобно, но намного лучше чем смотреть на неравенство и думать: это пипец! Как быть?… Итак, приступим:

*Не делится без остатка.

*Не делится без остатка.

*Не делится без остатка.

Ура! Проделав всё это на черновике вы смело можете записать в решении следующее: проверим множитель х²–х–1, далее выполнив деление записываем:

Находим корни:

Многочлен  х²–х+3 на множители не раскладывается, так как дискриминант отрицателен. Получается что при всех «х» это выражение имеет положительное значение (ветви параболы направлены вверх).

Остаётся определить знаки на интервалах. Строим числовую ось. Отмечаем корни. Учтём что х>1 (ОДЗ).

Определяем приблизительно полученные значения корней. Корень из пяти находится между числами 2,2 и 2,3, так как 2,2² =4,84 и 2,3²=5,29.

Следовательно:

*Так как х>1, то нас интересует только второй  корень, отмечаем его и единицу, подставляем значения из интервалов и определяем знаки:

Комментарий: задание можно назвать очень-очень «нехорошим» для ЕГЭ, в составе экзамена в других вариантах были неравенства намного проще и удобнее в решении. Без сомнения, данный пример многих ребят поставил в тупик, в итоге он был не решён или потрачено много времени.

Во-первых, при определении ОДЗ можно не увидеть, что условие х–1>0 выполняется для других двух условий. Во-вторых, разложить полученный многочлен на множители это проблема для большинства школьников, однозначно!

Вариант решения предложенный Валерием Волковым, безусловно, хорош и красив, но не многие ребята мгновенно могут  вспомнить и применить использованный приём (замена выражений другими переменными).

Успеха Вам! С уважением, Александр.