Два велосипедиста одновременно

   Задачи про авто, велосипедистов... Вы, наверное, знаете, что задачи на  движение, которые будут на ЕГЭ по математике довольно разнообразны. Это задачи на прямолинейное движение, на движение по окружности (круговое движение), движение по воде, задачи на нахождение средней скорости.

Кроме того, есть задачи, в которых идет речь о двух транспортных средствах, двигающихся параллельно — они относятся к группе заданий на прямолинейное движение, но в них есть особенности. Постепенно мы разберём все их. 

Отмечу, что задачи на движение по прямой и многие задачи на работу схожи по принципу решения и решаются по одному алгоритму. Задачи на движение по воде также принципиально от задач на прямолинейное движение мало чем отличаются. Задачи на движение по окружности можно легко преобразовать в задачи на прямолинейное движение.

В этой статье мы с вами рассмотрим задачи на движение по прямой.

Для начала запишите в виде математического выражения:

Это важный ключевой момент, почему-то при ответе на такой простой вопрос учащиеся допускают  ошибки. Правильные ответы:

Основная формула:

РАССТОЯНИЕ = СКОРОСТЬ ∙ ВРЕМЯ

Из этой формулы можно выразить

2. В качестве переменной х удобнее всего (в большинстве случаев) выбирать скорость. Тогда задача точно решится!

Для начала  внимательно читайте условие. В нем всё уже есть. Рассмотрим примеры:

Из «А» в «В» одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого на 10 км/ч, а вторую половину пути  — со скоростью 60 км/ч, в результате чего прибыл в «В» одновременно с первым автомобилистом. Найдите скорость первого автомобилиста, если известно, что она больше 39 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Примем скорость первого автомобилиста за х км/ч. Расстояние, которое он проезжает от пункта «А» до пункта «В»  S (км). Значит время, затраченное им на дорогу  S/x  (ч).

Скорость второго на первой половине на 10 км/ч меньше, то есть х – 10 (км/ч). На второй половине пути 60 км/ч, значит время, затраченное им на дорогу:

Далее заполним в таблицу:

Составление данной таблицы намного облегчает процесс решения. Выглядит она следующим образом. Известные данные прописываем в соответствующих ячейках:

Известно, что в пункт «В» оба  прибыли одновременно, то есть затратили одинаковое время:

Примечание: в таблице мы записали путь как S. Можно было записать 1, это можно делать, когда не задана длина пути. Суть не меняется (1 путь) или (S км) не важно. В уравнении эта величина сократится: 

Получили два решения 40 (км/ч) и 30 (км/ч). Но в условии сказано, что искомая скорость больше 39 (км/ч). 

Ответ: 40

Решите самостоятельно:

Из «А» в «В» одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого на 13 км/ч, а вторую половину пути  — со скоростью 78 км/ч, в результате чего прибыл в «В» одновременно с первым автомобилистом. Найдите скорость первого автомобилиста, если известно, что она больше 48 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Посмотреть решение 

Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 77 км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на 4 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 4 часа. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В. Ответ дайте в км/ч.

Также составляем таблицу.

Пусть скорость велосипедиста на пути из  «А»  в  «В» равна  х.

Тогда его скорость на обратном пути равна  х + 4.

Расстояние в обеих строчках таблицы пишем одинаковое:  77 километров. Осталось записать время. Поскольку t=S/v, то на путь из «А» в «В» велосипедист затратит время t₁=77/х, а  на обратный путь время  t₂=77/(х+4).

На обратном пути велосипедист сделал остановку на  4 часа и в результате затратил столько же времени, сколько на пути из «А» в «В». Это значит, что на обратном пути он крутил педали (находился в движении) на 4 часа меньше.

Значит, t₁ на 4 меньше, чем  t₂. Получается уравнение:

Или можно рассудить так: велосипедист на обратный путь затратил 77/(х+4) часов и ещё 4 часа простоял. Очевидно, что  уравнение будет иметь вышеуказанный вид. Решаем:

Скорость величина положительная, значит скорость велосипедиста из А в В  равна 7 (км/ч).

Ответ: 7

Решите самостоятельно:

Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 98 км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на 7 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 7 часов. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В. Ответ дайте в км/ч.

Посмотреть решение

Два велосипедиста одновременно отправились в 195-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 2 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 2 часа раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Ответ дайте в км/ч.

Примем скорость  второго велосипедиста за  х. Тогда  скорость первого  равна   х + 2.  Расстояние оба проехали  одинаковое  — 195 километров. Осталось записать время.

Поскольку t=S/v,  первый затратит t₁=195/(х+2) часов, а второй t₂=195/х  часов.

Сказано, что первый прибыл на три часа раньше, то есть он затратил время на движение и ещё два часа ожидал, пока прибудет второй. Значит время, затраченное первым на передвижение плюс три два ожидания второго, равно времени нахождения в пути второго:

Можно рассудить по-другому: выражение  «первый прибыл на два часа раньше», означает, что он затратил на пробег на два часа меньше, чем второй. То есть t₁< t₂  на 2,  или

Умножаем левую и правую части на х(х+2).

Приводим его к квадратному х²+2х–195=0    

Решаем,  получим:  D=784   х₁=13   х₂=–15

13 километров в час это вполне правдоподобная скорость велосипедиста. А ответ х=–15 не подходит, так как скорость велосипедиста должна быть положительна.

Ответ: 13

Решите самостоятельно:

Два велосипедиста одновременно отправились в 88-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 3 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 3 часа раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Ответ дайте в км/ч.

Посмотреть решение

Из двух городов, расстояние между которыми равно 260 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля. Через сколько часов автомобили встретятся, если их скорости равны 55 км/ч и 75 км/ч?

Принимаем искомую  величину, то есть время, через которое автомобили встретятся за х.  В данной задаче проще производить сравнение по расстоянию. Составим таблицу и найдём «расстояние», которое проехал каждый автомобиль.

Один проехал до места встречи 55х км, другой 75х км. По условию расстояние между городами 260 км. Значит, сумма пройденных автомобилями  расстояний будет равна 260 км.

Автомобили встретятся через 2 часа. 

Рассмотрим второй способ:

Попробуем использовать сравнение по времени. Обозначаем расстояние пройденное первым авто как S₁, расстояние пройденное вторым авто как  S₂. Занесем скорость и расстояние в таблицу. Заполняем графу «время»:

Известно, что ехали они одинаковое время (с момента выезда каждого из своего пункта и до момента встречи), так же понятно, что сумма расстояний пройденных ими равна 260 км.

Можем составить два уравнения и решить систему:

Решив   систему,   получим  S₁=110 км  и  S₂=150 км

Найдём время:

Первый способ более рационален, решение сводится к линейному уравнению. Тем не менее, разумеется, что  каждый выбирает для себя наиболее понятный ему путь  решения.

Ответ: 2

Решите самостоятельно:

Из двух городов, расстояние между которыми равно 560 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля. Через сколько часов автомобили встретятся, если их скорости равны 65 км/ч и 75 км/ч?

Посмотреть решение 

Из городов A и B, расстояние между которыми равно 240 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля и встретились через 2 часа на расстоянии 130 км от города B. Найдите скорость автомобиля, выехавшего из города A. Ответ дайте в км/ч.

Вы, наверное, заметили, что это задача схожа с предыдущей.

Сразу отметим, что автомобили встретились в 130 км от города «В». Это значит, что тот, кто выехал из «В» проехал 130 км, а кто выехал из «А» проехал 240–130=110 км. Время движения  2 часа. Значит, что скорость выехавшего из города «А» равна

Составлять таблицу в данной задаче не обязательно.

Ответ: 55

Решите самостоятельно:

Из городов A и B, расстояние между которыми равно 330 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля и встретились через 3 часа на расстоянии 180 км от города B. Найдите скорость автомобиля, выехавшего из города A. Ответ дайте в км/ч.

Посмотреть решение 

В задачах на движение сложновато разобраться, если на условие смотреть просто как на текст с данными. Важно уметь представлять сам процесс движения, понимать смысл формулы. Например, само понятие скорости, что это такое? Автомобиль едет со скоростью 60 км в час – это значит, если он будет ехать один час, то проедет 60 километров.

Я например, в детстве моделировал задачи – машинки по полу катал, и только благодаря этому понял процесс.

На этом остановимся. Есть задачи на прямолинейное движение более сложные. Мы их также рассмотрим.

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.