Подготовка к ЕГЭ по математике 2017 бесплатно!
Программируемые LEGO конструкторы! Посмотреть!

В параллелограмме ABCD

В параллелограмме ABCD...  Другие задачи с параллелограммами вы можете посмотреть здесьВ этой статье мы рассмотрим очередную группу задач с параллелограммами. Задачки разные: на вычисление высот, сторон, диагоналей, радиуса вписанной окружности. Решения несложные, всё просто. Необходимо знать свойства ромба:

— Диагонали ромба пересекаются под прямым углом.
— Стороны ромба равны.

Также, в зависимости от подхода к решению, может пригодиться формула площади параллелограмма (здесь она находится перед формулами площади треугольника):

Площадь параллелограмма равна произведению соседних сторон и синуса угла между ними.

Также освежите в памяти формулу площади произвольного четырёхугольника:

Так как параллелограмм (и разумеется ромб) являются четырёхугольниками, то она относится и к ним. Для параллелограмма она остаётся без изменения:

Для ромба:

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

*Так как диагонали ромба пересекаются под углом 90 градусов, а его синус равен единице.

Ещё очень важный и нужный теоретический аспект. В некоторых заданиях даётся отношение сторон. Например, говорится, что стороны параллелограмма относятся как 2:3. Это касается не только заданий с параллелограммами. Отношение в условии применяется довольно широко во многих геометрических задачах. Многие с ним путаются, пугаются и не понимают что делать, хотя в 6-7 классе (и даже раньше) уже даётся понимание сути отношения. Что вообще это значит? Давайте уделим этому немного внимания.

Разберём на конкретном примере. Имеем прямоугольник.

Его стороны относятся как 2:5. Звучит это так: «Два к пяти». В условии задачи может быть написано: «Отношение сторон выражается следующим образом  a:b=2:5». Звучит это так: «a относится к b, также как 2 относится к 5».

Теперь ключевой момент! Это означает, что отношение сторон прямоугольника равно 2/5 или 0,4. То есть их размеры могут быть:

1 и 2,5; 6 и 15; 10 и 25; 100 и 250, и так далее.

Действительно, посмотрите, все  отношения равны 2/5 (или 0,4):

То есть, по-сути, если мы умножим 2 и 5 на любое положительное число, то отношение будет тем же:

Вопрос: а как вычислять эти стороны, если это потребуется?

Ответ: в задаче ВСЕГДА будет дано какое-либо дополнительное условие. И при решении этот «х» умышленно вводится и используется. Его называют коэффициентом пропорциональности. Ниже разберём пример.

Две стороны прямоугольника относятся как 3:4, а периметр его равен 140. Найдите большую сторону.

Введём коэффициент пропорциональности х. Тогда  одна сторона будет равна 3х, другая 4х.

*Комментарий: действительно отношение сторон не изменилось:

Сказано, что периметр равен 140, следовательно можем записать:

Обратите внимание, что мы вычислили коэффициент. Теперь определим большую сторону, она равна 4х, то есть 40.

Можно пойти другим путём и обойтись без введения коэффициента х.

Давайте условно примем, что стороны нашего воображаемого прямоугольника равны 3 и 4. Тогда его периметр будет равен 3+4+3+4=14. В условии задачи сказано, что периметр данного в условии прямоугольника равен 140. Чем он отличается от принятого нами? Тем, что его периметр в 10 раз больше. Это значит, что все его линейные размеры также будут в 10 раз больше, то есть стороны будут равны 30 и 40.

*Суть решения такая же, только зашли немного с другой стороны. Рассмотрим задачи:

27809. Периметр параллелограмма равен 46. Одна сторона параллелограмма на 3 больше другой. Найдите меньшую сторону параллелограмма.

Периметр фигуры это сумма всех её сторон. Обозначим меньшую сторону параллелограмма за х, тогда большая сторона будет равна х+3. Следовательно можем записать:

Таким образом меньшая сторона равна 10, большая 13.

Ответ: 10

27816. Найдите меньшую диагональ ромба, стороны которого равны 2, а острый угол равен 600.

Как известно по свойству ромба, его диагонали являются биссектрисами углов. Тупой угол параллелограмма будет равен 1200 (по признаку параллельности прямых). Построим меньшую диагональ и отметим углы:

Получается, что ромб диагональю разбиваются на два равносторонних треугольника, значит DB=2.

*Если угол будет не 600, то применяйте теорему косинусов.

Ответ: 2

27817. Найдите высоту ромба, сторона которого равна √3, а острый угол равен 600.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ADH, высоту мы можем найти используя определение синуса в прямоугольном треугольнике:

Ответ: 1,5

27824. Две стороны параллелограмма относятся как 3:4, а периметр его равен 70. Найдите большую сторону параллелограмма.

Периметр фигуры это сумма всех её сторон. Введём коэффициент пропорциональности х, тогда меньшая сторона параллелограмма будет 3х, а большая сторона 4х. Можем записать:

Таким образом, меньшая сторона будет равна 3∙5=15, большая 4∙5=20.

Ответ: 20

27826. Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 4:3, считая от вершины острого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен 88.

Задача похожа на предыдущую, но немного усложнена. Если мы сейчас введём коэффициент пропорциональности, то с его помощью сможем выразить только стороны AB и DC. Сторона AD (и равная BC) не обозначена.

Как её выразить относительно большей стороны параллелограмма? Посмотрите, по свойству параллельности прямых:

Получается, что

Это означает, что треугольник ADO является равнобедренным. Следовательно AD=AO. Указано, что биссектриса тупого угла делит противоположную сторону в отношении 4:3, считая от вершины острого угла, значит:

Запишем уравнение для периметра и вычислим:

Таким образом, большая сторона будет равна 7∙4=28.

Ответ: 28

27828. Найдите большую диагональ ромба, сторона которого равна √3, а острый угол равен 600.

Первый подход.

Используем теорему косинусов:

Угол D равен 120 градусам, следовательно:

Второй подход.

Меньшая диагональ равна стороне ромба равна √3 (см. задачу 27816).

Известна формула площади ромба (описана в начале статьи):

Одна диагональ известна, если мы вычислим площадь, то тогда сможем найти вторую (большую) диагональ. Площадь можно вычислить используя формулу параллелограмма, она применяется довольно часто:

*Площадь параллелограмма равна произведению соседних сторон на синус угла между ними.

Таким образом:

Ответ: 3

27829. Диагонали ромба относятся как 3:4. Периметр ромба равен 200. Найдите высоту ромба.

Высоту ромба мы можем найти из формулы площади:

Как найти сторону ромба и площадь?

Известно, что стороны ромба равны, значит одна сторона будет равна 200:4=50.

Вычислим площадь.

Введём коэффициент пропорциональности х, тогда DB=4x, AC=3x. Как уже  сказано, площадь ромба равна половине произведения диагоналей:

По теореме Пифагора можем вычислить х:

Значит

Таким образом,  высота будет равна

Ответ: 48

27846.Найдите высоту параллелограмма ABCD, опущенную на сторону AB, если стороны квадратных клеток равны 1.

Видно, что высота равна 4 клеткам. Так масштаб клетки 1×1, то и высота равна 4.

Ответ: 4

27851. Найдите периметр четырехугольника ABCD, если стороны квадратных клеток равны √10.

Стороны ромба равны. Вычислим одну сторону и умножим её на 4. Сторона ромба является гипотенузой в прямоугольном треугольнике с катетами 1 и 3. Вычисляем:

Таким образом, периметр равен 40.

Ответ: 40

27852. Найдите диагональ AC параллелограмма ABCD, если стороны квадратных клеток равны 1.

AС  можно вычислить рассмотрев прямоугольный треугольник АEC:

По теореме Пифагора:

Ответ: 5

27913. Сторона ромба равна 1, острый угол равен 300. Найдите радиус вписанной окружности этого ромба.

Это задача, по-сути, на устный счёт. Вспомним о том, что катет прямоугольного треугольника лежащий против угла 30 градусов равен половине гипотенузы. Теперь посмотрите на рисунок:

Высота (катет) DE лежит против угла А равного тридцати градусам. значит AD=2∙DE, то есть DE=0,5. И радиус будет равен 0,25.

Есть и альтернативные решения.

Первое решение (вытекает из вышеприведенного).

Высота равна диаметру окружности. Вычислим её. Рассмотрим прямоугольный треугольник ADE:

Получили, что диаметр равен 0,5. Таким образом радиус равен 0,25.

Второе решение.

Как уже обозначено, радиус вписанной окружности равен половине диаметра, а диаметр равен высоте ромба. Её можно вычислить используя формулу площади:

Сторона известна. Вычислим площадь по формуле:

*Площадь параллелограмма (ромба) равна  произведению его соседних сторон на синус угла между ними. Таким образом:

Диаметр нашли. Значит радиус равен 0,25.

Ответ: 0,25

27914. Острый угол ромба равен 300. Радиус вписанной в этот ромб окружности равен 2. Найдите сторону ромба.

Это задача обратная предыдущей, вычислите самостоятельно. Ответ 8.

*Подсказка! Можно решить устно, если использовать свойство катета лежащего против угла 300.

27827. Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна 5. Найдите его большую сторону.

Посмотреть решение

Другие задачи с параллелограммами смотрите здесь.

На этом всё. Успеха вам!

С уважением, Александр Крутицких.

Рассказывайте о сайте в социальных сетях!


Подготовка к ОГЭ по математике. Полный курс!

Школа репетиторов Анны Малковой. Супер тренинг!

Онлайн-обучение, подготовка к ЕГЭ и ОГЭ по предметам!

50 базовых упражнений лечебной физкультуры!

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

*