Конус вписан в шар

В данной статье рассмотрим четыре задачи по стереометрии. Дана комбинация тел – конус и шар. Во всех заданиях речь идёт о конусе, который вписан в шар. Отмечу, что в условии взаимное расположение данных тел озвучено может быть по разному, например: «Конус вписан в шар» или  «Около конуса описана сфера».

Суть одна – если сказать простым (нематематическим) языком, то конус находится «внутри» сферы, она содержит окружность его основания и вершину. Посмотрите на эскиз:

При решении необходимо знать формулы объёмов шара и конуса.

Объём шара:

Объём конуса:

*Эти формулы необходимо знать!

Площадь основания конуса является кругом, она равна:

Рассмотрим частный случай! Если высота конуса будет равна радиусу его основания, то формула объёма конуса будет иметь вид:

Эскиз:

Понятно, что центральным сечением такого конуса будет являться прямоугольный равнобедренный треугольник, причём высота проведённая из прямого угла разбивает его также на два прямоугольных равнобедренных треугольника:

Вспомним понятие образующей, оно часто используется в задачах с конусами, будет и в заданиях ниже.

Образующая конуса  – это отрезок, соединяющий вершину конуса с точкой его основания. На предыдущем эскизе она обозначена буквой  l.

Напрашивается простой вывод: образующих у конуса имеется бесконечное количество и все они равны.

На блоге, кстати, уже есть пара статей с шарами, можете посмотреть их «Задачи с шарами. Это просто!» и «Цилиндр описан около шара. Три задачи».

Теперь рассмотрим задачи:

245351. Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем шара равен 28. Найдите объем конуса.

Так как сказано, что радиус основания конуса равен радиусу шара, то становится понятно, что основание конуса совпадает с плоскостью центрального сечения шара.

Построим эскиз данной комбинации для наглядности (это осевое сечение):

Сказано, что высота конуса равна радиусу его основания (и, разумеется, радиусу шара). Запишем формулы объёмов шара и конуса:

Так как объём шара известен (он равен 28), можем вычислить радиус. Вернее, нам понадобится не сам радиус, а его куб:

Таким образом, объём конуса будет равен:

*Можно было обойтись без вычислений. Посмотрите, если сопоставить две формулы:

то видно, что объём шара в 4 раза больше объёма конуса.

Значит объём конуса будет равен 28/4 = 7.

То есть,  задача решается практически устно.

Ответ: 7

245352. Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем конуса равен 6. Найдите объем шара.

Задача обратная предыдущей, рисунок тот же.

Формулы:

Из формул понятно, что объём шара в 4 раза больше объёма конуса:

Таким образом, искомый объём равен 24.

Ответ: 24

316555. Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Образующая конуса равна  . Найдите радиус сферы.

Здесь условие звучит по-другому, но тела расположены относительно друг друга абсолютно также, как и в предыдущих задачах – конус вписан в сферу, основание конуса совпадает с центральным сечением сферы.

Эскиз тот же, отметим радиус, высоту равную радиусу и образующую:

Задача сводится к использованию одной формулы. Рассмотрим прямоугольный треугольник (выделен жёлтым). По теореме Пифагора:

Радиус сферы равен семи.

Ответ: 7

316556.  Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Радиус сферы равен  . Найдите образующую конуса.

Эта задача обратная предыдущей, эскиз:

Рассмотрим прямоугольный треугольник (выделен жёлтым), х – это образующая. По теореме Пифагора:

Образующая конуса равна 56.

Ответ: 56

На этом всё. Успеха Вам!

С уважением, Александр.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.