Середина ребра куба

Здесь для вас представлено решение двух заданий связанных с комбинацией двух тел – сферы и куба. На момент публикации этих строк данные задачи исключены из банка заданий ЕГЭ по математике, то есть их как бы на экзамене быть не должно. Но нельзя исключать такой возможности, что их в любой момент могут «вернуть» обратно. Поэтому рассмотреть их считаю обязательным.

В чём может возникнуть затруднение? В условии не дан эскиз, и сразу после прочтения не совсем понятно как выглядит указанная «конструкция». Если у вас хорошее пространственное мышление, то вы вполне можете обойтись без эскиза.

Напомню формулу площади поверхности шара, она необходима:

Как легко запомнить формулу было описано в этой статье.

Рассмотрим задачи:

25833. Вершина А куба ABCDA₁B₁C₁D₁ со стороной 1,2 является центром сферы, проходящей через точку A₁. Найдите площадь S части сферы, содержащейся внутри куба. В ответе запишите величину S/Пи.

Сказано, что одна из вершин куба является центром сферы с радиусом, равным стороне куба. Это означает, что соседние с ней вершины лежат на поверхности сферы. Схематично эскиз будет выглядеть так:

Становится ясно, что в кубе (внутри куба) содержится восьмая часть сферы и, соответственно, одна восьмая часть её поверхности.

Таким образом, площадь поверхности сферы находящейся внутри куба равна:

Результат разделим на Пи и запишем ответ.

Ответ: 0,72

25843. Середина ребра куба со стороной 0,8 является центром шара радиуса 0,4. Найдите площадь S части поверхности шара, лежащей внутри куба. В ответе запишите S/Пи.

Строим куб, отмечаем середину ребра, это центр шара. Исходя из данных в условии размеров становится очевидно, что ребро куба равно диаметру шара (0,8=0,4∙2). Схематично строим на этом ребре шар:

Получается, что внутри  куба содержится одна четвёртая часть сферы и, соответственно, четвёртая часть её поверхности.

Таким образом, искомая площадь поверхности части шара равна:

Результат разделим на Пи и запишем ответ.

Ответ: 0,16

27206. Вершина куба ABCDA₁B₁C₁D₁ со стороной 1,6 является центром сферы, проходящей через точку A₁. Найдите площадь S части сферы, содержащейся внутри куба. В ответе запишите величину S/Пи.

Посмотреть решение

27207. Середина ребра куба со стороной 1,9 является центром шара радиуса 0,95. Найдите площадь S части поверхности шара, лежащей внутри куба. В ответе запишите S/Пи.

Посмотреть решение

На этом всё. Успеха вам!

С уважением, Александр.

*Расскажите о сайте друзьям в социальных сетях.