Подготовка к ЕГЭ по математике 2017 бесплатно!
Бесплатный метод устранения головной боли!

Объем шара

Объем шара. Среди стереометрических задач имеется группа заданий со сферой. Задачи разные, но объединяет их одно: необходимо знать пару формул и чуток поразмыслить. Часть заданий решается устно. Если вы хотите ещё раз повторить формулы стереометрии, добро пожаловать на эту страницу. Повторили? Молодцы! Теперь давайте запомним формулу площади поверхности шара и формулу его объёма  раз и навсегда.

Формула площади поверхности шара:

Площадь сферы знать я рад – четыре пи на эр квадрат

Стишок придумал не я, это Татьяна Войкова из Калининграда.

Формула объёма шара:

Объём сферы пишем тут – четыре третьих пи эр куб

А этот уже я. Буду рад, если вам этот приём поможет запомнить данные формулы. Стишки, кстати, очень помогают при запоминании. Что ещё добавить? Если в условии речь идёт о единичном кубе, то это означает, что ребро этого куба равно единице; если речь идёт о единичной сфере, то это означает, что её радиус равен единице.  Рассмотрим  задачи:

Площадь большого круга шара равна 17. Найдите площадь поверхности шара.

Мы знаем, что площадь поверхности шара находится по формул:

Необходимо найти радиус шара. Площадь осевого сечения (больший круг) равна 17. Из формулы площади круга можем найти его радиус.

Радиус большого круга является радиусом шара. Таким образом:

*Можно было сразу без данных вычислений сделать вывод, что площадь поверхности шара в 4 раза больше площади поверхности большого круга.

Ответ: 48

Во сколько раз увеличится площадь поверхности шара, если его радиус увеличить в три раза?

Запишем площадь поверхности исходного шара:

Площадь поверхности шара с радиусом втрое большим равна:

Таким образом, площадь поверхности шара увеличится  в 9 раз.

Ответ: 9

Во сколько раз увеличится объем шара, если его радиус увеличить в шесть раз?

Объем шара находится по формуле:

При увеличении радиуса в шесть раз его объём будет:

Таким образом, объем шара увеличится в 216 раз.

Ответ: 216

Объем одного шара в 216 раз больше объема второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?

Формула объёма шара:

Формула площади поверхности шара:

Пусть объёмы шаров соответственно равны:

Из условия следует, что:

То есть, мы установили, что радиус первого больше радиуса второго в 6 раз. Если радиус шара уменьшить в 6 раз, то площадь поверхности шара изменится следующим образом:

То есть она уменьшится в 36 раз.

Ещё один вариант рассуждения.

Объемы шаров (а так же их радиусов) соотносятся как:

То есть радиус одного шара в 6 раза больше другого.

Формула площади поверхности шара:

Если радиус одного шара увеличить в 6 раз, то площадь поверхности изменится следующим образом:

То есть она увеличится в 36 раз. Таким образом, площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго в 36 раз.

Ответ: 36

27073. Около шара описан цилиндр, площадь поверхности которого равна 18. Найдите площадь поверхности шара.

Что необходимо отметить сразу же? Это то, что радиус цилиндра равен радиусу шара  и высота цилиндра равна двум его радиусам.

Площадь поверхности шара находится по формуле:

То есть нам нужно найти радиус шара. Это можно сделать из формулы площади поверхности цилиндра:

*Как уже сказано, высота цилиндра равна двум радиусам, значит:

Как вы догадываетесь, сам радиус можно и не вычислять, и в формулу площади поверхности шара подставить лR2:

Ответ: 12

27105. Объем прямоугольного параллелепипеда, описанного около сферы, равен 216. Найдите радиус сферы.

Параллелепипед описанный около сферы является кубом. Формула объёма куба имеет вид:

Ребро данного куба равно диаметру сферы. Найдём его:

Таким образом, радиус сферы равен трём.

Ответ: 3

27126. В куб с ребром 3 вписан шар. Найдите объем этого шара, деленный на Пи. 

Ребро куба равно диаметру шара. Значит радиус шара равен 1,5. Вычислим объём шара:

Результат разделим на Пи и запишем ответ.

Ответ: 4,5

27059. Площадь большого круга шара равна 3. Найдите площадь поверхности шара.

Посмотреть решение

27072. Во сколько раз увеличится площадь поверхности шара, если радиус шара увеличить в 2 раза?

Посмотреть решение

27097. Во сколько раз увеличится объем шара, если его радиус увеличить в три раза?

Посмотреть решение

27125. Радиусы трех шаров равны 6, 8 и 10. Найдите радиус шара, объем которого равен сумме их объемов.

Посмотреть решение

27162. Объем одного шара в 27 раз больше объема другого. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?

Посмотреть решение

27163. Радиусы двух шаров равны 6 и 8. Найдите радиус шара, площадь поверхности которого равна сумме площадей их поверхностей.

Посмотреть решение

27174. Объем шара равен 288Пи. Найдите площадь его поверхности, деленную на Пи.

Посмотреть решение

27043. Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиуса 1. Найдите его объем.

Посмотреть решение

 

27067. Прямоугольный параллелепипед описан около единичной сферы. Найдите его площадь поверхности.

Посмотреть решение

27127. Около куба с ребром равным корню из трёх описан шар. Найдите объем этого шара, деленный на Пи.

Посмотреть решение

Как видим, требуется знание формул и немножко логики. В будущем также будем рассматривать стереометрические задачи, не пропустите! На этом всё. Успеха Вам!

С уважением,Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.


Подготовка к ОГЭ по математике. Полный курс!

Школа репетиторов Анны Малковой. Супер тренинг!

Онлайн-обучение, подготовка к ЕГЭ и ОГЭ по предметам!

50 базовых упражнений лечебной физкультуры!

Отзывов (2)
  1. Флюра

    Все просто и доступно! СПАСИБО!!!

  2. Екатерина

    Спасибо,хороший сайт!

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

*