Подготовка к ЕГЭ по математике 2017 бесплатно!
Бесплатный метод устранения головной боли!

Арифметическая прогрессия

В состав ЕГЭ по математике входят задачи связанные с прогрессией. Это текстовые задачи. Те задания, которые будут на экзамене предельно просты. Необходимо понимать саму суть – что собой представляет арифметическая и геометрическая прогрессия,  а также знать формулы (их необходимо выучить). В школьном курсе математики рассматриваются задачи на порядок сложнее. Итак:

Арифметическая прогрессия – числовая последовательность an определяемая условиями:

1) an = a

2) an+1=an+d    n = 1,2,3,4…  

(d — разность арифметической прогрессии)

Каждый последующий член арифметической прогрессии равен сумме предыдущего  и числа  d.

Пример арифметической прогрессии:

2,5,8,11,14,17…      a1 = 2   a2 = 5     d = 3

1,2,3,4,5,6,7,8…      a1 = 1   a2 = 2     d = 1

Формула n-го члена:

Формула суммы n  первых членов:

Подставим в неё  an=a1+d (n – 1), получим ещё одну:

Геометрическая прогрессия – числовая последовательность bn определяемая условиями:

1)   bn = b   (b ≠ 0) 

2)   bn+1 = bnq    n = 1, 2, 3... (q — знаменатель геометрической прогрессии).

Каждый последующий член геометрической прогрессии равен произведению предыдущего  и числа  q.

Примеры  геометрической прогрессии:

2, 6, 18, 54, 162…               b1 = 2     b2 = 5     q = 3

2, 4, 8, 16, 32, 64, 128…      b1 = 2     b2 = 5     q = 2  

Формула n-го члена:

Формула суммы n первых членов q ≠ 1: 

Подставим в неё  bn = b1qn–1, получим ещё одну:

Вот эти формулы и необходимо знать (очень хорошо). Вы убедитесь, что сами задачи просты. Необходимо сразу обозначить исходные данные: где сумма, где первый член, где число первых членов.

Рассмотрим задачи:

Турист идет из одного города в другой, каждый день проходя больше, чем в предыдущий день, на одно и то же расстояние. Известно, что за первый день турист прошел 10 километров. Определите, сколько километров прошел турист за третий день, если весь путь он прошел за 6 дней, а расстояние между городами составляет 120 километров.

Турист проходит  каждый день больше, чем в предыдущий на одинаковое количество километров. Это задача на арифметическую прогрессию. Количество дней это количество членов прогрессии n = 6, 120 километров это сумма расстояний пройденных каждый день (сумма всех членов прогрессии S), 10 километров это первый член прогрессии, то есть а1= 10.

Формула суммы членов арифметической прогрессии:

Значит, мы можем найти d – разность арифметической прогрессии. Это число километров, на которое увеличивается путь в каждый последующий день:

То есть, каждый день турист проходит на 4 километра больше, чем в предыдущий. Значит, за второй день турист пройдёт 10 + 4 = 14 километров, за третий 14 + 4 = 18 километров. Или можно посчитать по формуле n-го члена прогрессии:

Ответ: 18

Грузовик перевозит партию щебня массой 210 тонн, ежедневно увеличивая норму перевозки на одно и то же число тонн. Известно, что за первый день было перевезено 2 тонны щебня. Определите, сколько тонн щебня было перевезено на девятый день, если вся работа была выполнена за 14 дней.

Грузовик увеличивает норму перевозки каждый день на одно и то же число. Это арифметическая прогрессия. Первый член прогрессии равен 2 (количество тонн, перевезённое в первый день). Сумма прогрессии равна 210 (общее количество перевезённого щебня). Число членов прогрессии 14 (число дней, за которые был перевезён груз). Используем формулу суммы арифметической прогрессии и найдём из неё d – количество тонн, на которое увеличивалась норма перевозки каждый день:

Значит,

Формула n-го члена арифметической прогрессии:

Таким образом, на девятый день грузовик перевез:

Ответ: 18

Улитка ползет от одного дерева до другого. Каждый день она проползает на одно и то же расстояние больше, чем в предыдущий день. Известно, что за первый и последний дни улитка проползла в общей сложности 10 метров. Определите, сколько дней улитка потратила на весь путь, если расстояние между деревьями равно 150 метрам.

Каждый день улитка проползает на одно и то же расстояние больше, чем в предыдущий день. Это задача на  арифметическую прогрессию. Количество дней – это количество членов прогрессии, 150 метров это сумма всех членов прогрессии), 10 метров –  сумма расстояний в первый и последний день (сумма первого и последнего члена прогрессии). То есть,

Используем формулу суммы членов арифметической прогрессии:

Подставим:

Улитка потратила на весь путь 30 дней.

Ответ: 30

Вере надо подписать 640 открыток. Ежедневно она подписывает на одно и то же количество открыток больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Вера подписала 10 открыток. Определите, сколько открыток было подписано за четвертый день, если вся работа была выполнена за 16 дней.

Вере подписывает на одно и то же количество открыток больше по сравнению с предыдущим днем. Это задача на арифметическую прогрессию. Количество дней, за которыё выполнена работа – это количество членов прогрессии (n = 6), 640 открыток – это сумма всех членов прогрессии  (S = 640), 10 открыток – это первый член прогрессии, то есть а1= 10.

Формула суммы членов арифметической прогрессии:

Значит, мы можем найти d – разность арифметической прогрессии. Это число открыток, на которое Вера увеличивает свою норму в каждый последующий день:

То есть, каждый день Вера подписывает на 4 открытки больше, чем в предыдущий. Значит, за второй день 10 + 4 = 14 штук, за третий 14 + 4 = 18 штук, за четвертый 18 + 4 = 22. Или можно посчитать по формуле n-го члена прогрессии:

Ответ: 22

Решите самостоятельно:

Посмотреть решение

Посмотреть решение

Посмотреть решение

Данная задача на геометрическую прогрессию, но несмотря на свою простоту требует большой внимательности при решении (на сайте представлено два способа решения):

Посмотреть решение

В данной рубрике продолжим рассматривать задачи (есть задания на проценты, на смеси и сплавы, на движение по окружности), не пропустите! 

Всего доброго! Успехов вам!

С уважением, Александр Крутицких. 

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.


Подготовка к ОГЭ по математике. Полный курс!

Школа репетиторов Анны Малковой. Супер тренинг!

Онлайн-обучение, подготовка к ЕГЭ и ОГЭ по предметам!

50 базовых упражнений лечебной физкультуры!

Один отзыв
  1. Gorec

    Отличный у вас сайт. Оставшееся время, буду подготавливаться к егэ по материалу, которая на сайте. Надеюсь поможет

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

*