Здравствуйте! Очередная порция задачек с призмами, рассматриваются треугольные призмы. Объединил несколько заданий схожих по одному «признаку» – у них через среднюю линию основания проходит сечение. Вопросы стоят о вычислении площади поверхности или объёма либо исходной призмы, либо отсечённой. Что важно здесь помнить?
Это свойство подобия фигур касающееся площади, в частности про треугольник уже речь была в одной из статей, посмотрите (п.2). Но даже, если вы вдруг забудете это, представленные задачи будут интуитивно понятны и решите вы их в одно действие.
77111. Через среднюю линию основания треугольной призмы, площадь боковой поверхности которой равна 6, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсеченной треугольной призмы.
Сказано, что плоскость проходит через среднюю линию основания, то есть через точки, которые являются серединами соседних сторон треугольника. При чём она проходит параллельно боковому ребру – это означает, что указанная плоскость также проходит через середины соответствующих соседних сторон другого основания.
Без каких-либо вычислений понятно, что площадь боковой поверхности отсечённой призмы будет в два раза меньше, чем у исходной.
Посмотрите!
Высота у призм общая. Указанная плоскость разрезает две соседние боковые грани пополам.
Рассмотрим третью грань (параллельную плоскости сечения) – её площадь поверхности также в два раза меньше, так как средняя линия треугольника в два раза меньше параллельной ей стороны треугольника.
Учитывая, что высота остаётся неизменной (общая для обеих призм), можем сделать вывод, что площадь боковой поверхности (сумма площадей всех трёх граней) отсечённой призмы будет в два раза меньше.
Ответ: 3
76147. Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Площадь боковой поверхности отсеченной треугольной призмы равна 20. Найдите площадь боковой поверхности исходной призмы.
Задача обратная предыдущей. Формула для площади боковой поверхности призмы:
Значит для отсечённой призмы:
Высота у пирамид общая, поэтому площадь боковой поверхности исходной призмы зависит от периметра. Поскольку получившиеся треугольники в основании призмы подобны, и их соответствующие стороны относятся как 1:2, значит периметр основания исходной призмы вдвое больше периметра основания отсечённой.
А это означает, что и площадь боковой поверхности так же больше в 2 раза и равна 40.
Ответ: 40
27106. Через среднюю линию основания треугольной призмы, объем которой равен 32, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объем отсеченной треугольной призмы.
Известно, что объём призмы равен произведению площади основания и высоты. Высота для указанных призм общая, значит изменение объёма зависит только от изменения площади поверхности.
Рассмотрим треугольники лежащие в основаниях призм – они подобны. Если рассматривать основание исходной призмы относительно основания отсечённой, то коэффициент подобия будет равен 2. Что это нам даёт?
Мы знаем, что пощади подобных фигур соотносятся как квадрат коэффициента подобия, значит:
Основание отсечённой призмы в 4 раза меньше.
Таким образом, и её объём будет в 4 раза меньше, то есть 8.
Формально можно расписать так:
Ответ: 8
74745. Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Объем отсеченной треугольной призмы равен 7. Найдите объем исходной призмы.
Задача обратная предыдущей. Объём призмы равен произведению площади основания на высоту:
Высота общая, значит объём меняется в зависимости от изменения площади основания.
Треугольник лежащий в основании исходной призмы, как уже сказано, подобен треугольнику лежащему в основании отсечённой призмы. Коэффициент подобия равен 2, так как сечение проведено через среднюю линию.
Площади подобных фигур соотносятся как квадрат коэффициента подобия, то есть:
Таким образом, площадь основания исходной призмы больше площади основания отсечённой призмы в 4 раза.
Следовательно объем исходной призмы будет в 4 раза больше объема отсечённой призмы. Таким образом, искомый объём равен 28.
Ответ: 28
245356. Площадь поверхности правильной треугольной призмы равна 6. Какой будет площадь поверхности призмы, если все ее ребра увеличить в три раза?
Увеличим все рёбра призмы в три раза. Что получается?
Получается, что каждая грань полученной призмы и соответствующая ей грань исходной призмы являются подобными фигурами. При чём коэффициент подобия равен 3. Мы, что площади подобных фигур пропорциональны квадрату коэффициента подобия, то есть:
Это означает, что площадь каждой отдельной грани нашей призмы увеличится в 9 раз. Так как площадь поверхности всей призмы это сумма площадей всех граней, то разумеется, что и вся площадь поверхности призмы также увеличится в 9 раз.
Ответ: 54
*На самом деле не важно о каком теле идёт речь (о призме, пирамиде, кубе, параллелепипеде), суть одна.
В треугольной призме две боковые грани перпендикулярны. Их общее ребро равно 30 и отстоит от других боковых ребер на 3 и 4. Найдите площадь боковой поверхности этой призмы.
На момент написания статьи эта задача из открытого банка заданий ЕГЭ удалена, но мы её рассмотрим, так вернуться может туда в любой момент, а значит и быть на экзамене в будущие годы.
Для вычисления боковой поверхности призмы воспользуемся формулой:
В данном случае боковое ребро это общее ребро перпендикулярных друг другу граней, оно равно 30. Перпендикулярным сечением призмы является прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4. По теореме Пифагора найдём его гипотенузу и сможем вычислить периметр:
Таким образом:
Второй путь решения!
Указанная выше формула для кого-то может быть не понятна. В чём её смысл и что она выражает?
Посмотрите на каждую отдельную грань (положив призму на бок) – это параллелограммы. При чём основания этих параллелограммов равны и равны они боковому ребру, то есть 30. Высоты у них будут разные.
Две нам известны 3 и 4, третья не известна. Но её мы можем найти. Разрежем призму перпендикулярно боковым рёбрам, сечением разреза будет прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4, найдём гипотенузу:
Получается, что площадь боковой поверхности равна сумме площадей трёх параллелограммов:
Ответ: 360
72605. Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, сторона основания которой равна 6, а высота 2.
Призма правильная, значит гранями являются равные по площади прямоугольники. Так как призма шестиугольная, то имеем 6 таких прямоугольников. Площадь боковой поверхности равна сумме площадей всех боковых граней:
Ответ: 72
27068. Через среднюю линию основания треугольной призмы, площадь боковой поверхности которой равна 24, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсеченной треугольной призмы.
27107. Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Объем отсеченной треугольной призмы равен 5. Найдите объем исходной призмы.
27153. Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Площадь боковой поверхности отсеченной треугольной призмы равна 8. Найдите площадь боковой поверхности исходной призмы.
27150. В треугольной призме две боковые грани перпендикулярны. Их общее ребро равно 10 и отстоит от других боковых ребер на 6 и 8. Найдите площадь боковой поверхности этой призмы.
27057. Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, сторона основания которой равна 5, а высота 10.
На этом всё, всего доброго!
С уважением, Александр.
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
Спасибо большое за проделанную работу! Очень полезно и информативно.