В боковой стенке высокого цилиндрического бака

27959. В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём, выраженная в метрах, меняется по законугде t — время в секундах, прошедшее с момента открытия крана;

H₀=20м — начальная высота столба воды;

k=0,02— отношение площадей поперечных сечений крана и бака g — ускорение свободного падения (считайте g = 10 м/с²). Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объeма воды?   

Указанная формула описывает уменьшение высоты столба с течением времени, подставим в неё известные нам величины:Четверть воды в баке останется, когда высота водяного столба будет 5 метров H (t)=5. Определим время вытекания воды до уровня (высоты) 5 метров:В подобных задачах при получении двух положительных решений выбираем наименьший корень. Величина 150 секунд не имеет физического смысла для данной задачи. Так как через 100 секунд вода выльется из бака полностью. Это можно проверить, решив уравнение

0,002∙t²–0,4t +20 = 0

Таким образом, через 50 секунд после открытия крана в баке останется четверть воды.

Ответ: 50

27958. Если достаточно быстро вращать ведeрко с водой на верeвке в вертикальной плоскости, то вода не будет выливаться. При вращении ведeрка сила давления воды на дно не остаeтся постоянной: она максимальна в нижней точке и минимальна в верхней. Вода не будет выливаться, если сила еe давления на дно будет положительной во всех точках траектории кроме верхней, где она может быть равной нулю.

В верхней точке сила давления, выраженная в ньютонах, равна

m — масса воды в килограммах,

v — скорость движения ведeрка в м/с,

L — длина верeвки в метрах,

g — ускорение свободного падения (считайте g = 10 м/с²).

С какой наименьшей скоростью надо вращать ведeрко, чтобы вода не выливалась, если длина верeвки равна 40 см? Ответ выразите в м/с.

Понятно, что чем выше скорость вращения, тем больше давление воды (в том числе и в верхней точке). Нам необходимо найти минимальную скорость, при  которой вода не будет выливаться, то есть скорость, при которой давление  в  верхней точке  будет равным нулю (вода как бы зависнет) Р = 0. Решаем уравнение, сантиметры переводим в метры  (40см = 0,4м):Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, m≠ 0 (это масса воды), значитПри скорости вращения 2 м/с вода выливаться не будет.  Если же скорость будет от 0 до 2 м/с давление в верхней точке будет отрицательным и вода выльется.

Ответ: 2

27960. В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплeн кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нeм, выраженная в метрах, меняется по закону H (t)=at²+bt+H₀, где

H₀= 4 метра  — начальный уровень воды

а = 1/100   м/мин²

b = –2/5  м/мин — постоянные

t — время в минутах, прошедшее с момента открытия крана.

В течение какого времени вода будет вытекать из бака? Ответ приведите в минутах.

Вода из бака выльется полностью. Это значит, что её не останется и  уровень (высота водяного столба) будет нулевым H (t) = 0. Указанная формула описывает уменьшение высоты столба с течением времени. Решение задачи сводится к решению квадратного уравнения (подставляем значения в формулу):Через 20 минут вода выльется полностью.

Ответ: 20