ВЫБЕРИ репетитора! Промокод на скидку 25283
НОУТБУК за 16000 рублей!

Окружность вписанная в треугольник ABC

Окружность, вписанная в треугольник ABC, площадь которого равна 36, касается средней линии, параллельной стороне BC. Известно, что BC = 9. Найдите сторону AB.

*Комментарий: Чем интересна задача? Несмотря на то, что ее можно решить чисто механически составив эскиз и используя свои навыки в решении, тут, да и не только тут важно поразмышлять. Эскиз не дан. Смотрите, в условии сказано, что окружность вписана в треугольник и касается средней линии. Что это означает? Как минимум то, что окружность может быть вписана в двух вариантах – по разные стороны от средней линии.

Вариант первый: давайте впишем окружность в образованный треугольник AMN. Получится, что треугольник  АВС будет как бы «не зафиксирован». То есть, возможно бесконечное множество треугольников  АВС. Действительно, если сохраняя равной 36-ти площадь треугольника мы мысленно будем перемещать вершину А параллельно основанию ВС (соблюдая высоту), то АВ будет имеет множество значений от 8 до бесконечности. Почему от восьми? Потому что это самая минимально возможная высота (перпендикуляр):

Вариант второй: впишем окружность в образованную трапецию. Пусть M и N середины сторон АВ и АС соответственно:

Здесь можно заметить, что возможно только два варианта, при котором в трапецию возможно вписать треугольник, то есть будет два решения. Действительно, перемещая мысленно вершину А параллельно основанию ВС, дважды создадутся условия, при которых  в трапецию возможно вписать окружность. Отметим, что это будут симметричные друг другу треугольники.

Еще раз отмечу, что подобные оценки и размышления по поводу путей решения задач ВАЖНЫ. Это даёт опыт и помогает оценить существующие варианты.

Ну а теперь давайте решать.

Вспоминаем свойство четырехугольника описанного около  окружности — суммы противоположных сторон такого четырехугольника равны, в данном случае:Свойство средней линии треугольника:Итак:

Обозначим АВ=х, АС=у, р – полупериметр треугольника АВС. Тогда:Можем вычислить полупериметр:Используем формулу Герона:А теперь внимание! Мы, как и предполагали в начальных рассуждениях,  получили, что АВ иметь два значения. Но что это значит в наглядном виде? Если АВ=10, то ВС будет равно 17. Если АВ=17, то ВС будет равно 10. Так будут выглядеть эти два треугольника:Ответ: 10 или 17

Данная задача и много других интересных задач на проекте «Задачи по геометрии» для вас!


НЕ ОТКЛАДЫВАЙ! Заговори на английском!

ДОЛОЙ обидные ошибки на ЕГЭ!!

Подготовка к ЕГЭ, онлайн-обучение с Фоксворд!

Замучили боль и скованность в мышцах спины?

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

пятнадцать + семь =

*Нажимая на кнопку, я даю согласие на рассылку, обработку персональных данных и принимаю политику конфиденциальности.