Окружность, вписанная в треугольник ABC, площадь которого равна 36, касается средней линии, параллельной стороне BC. Известно, что BC = 9. Найдите сторону AB.
*Комментарий: Чем интересна задача? Несмотря на то, что ее можно решить чисто механически составив эскиз и используя свои навыки в решении, тут, да и не только тут важно поразмышлять. Эскиз не дан. Смотрите, в условии сказано, что окружность вписана в треугольник и касается средней линии. Что это означает? Как минимум то, что окружность может быть вписана в двух вариантах – по разные стороны от средней линии.
Вариант первый: давайте впишем окружность в образованный треугольник AMN. Получится, что треугольник АВС будет как бы «не зафиксирован». То есть, возможно бесконечное множество треугольников АВС. Действительно, если сохраняя равной 36-ти площадь треугольника мы мысленно будем перемещать вершину А параллельно основанию ВС (соблюдая высоту), то АВ будет имеет множество значений от 8 до бесконечности. Почему от восьми? Потому что это самая минимально возможная высота (перпендикуляр):
Вариант второй: впишем окружность в образованную трапецию. Пусть M и N середины сторон АВ и АС соответственно:
Здесь можно заметить, что возможно только два варианта, при котором в трапецию возможно вписать треугольник, то есть будет два решения. Действительно, перемещая мысленно вершину А параллельно основанию ВС, дважды создадутся условия, при которых в трапецию возможно вписать окружность. Отметим, что это будут симметричные друг другу треугольники.
Еще раз отмечу, что подобные оценки и размышления по поводу путей решения задач ВАЖНЫ. Это даёт опыт и помогает оценить существующие варианты.
Ну а теперь давайте решать.
Вспоминаем свойство четырехугольника описанного около окружности — суммы противоположных сторон такого четырехугольника равны, в данном случае:Свойство средней линии треугольника:
Итак:
Обозначим АВ=х, АС=у, р – полупериметр треугольника АВС. Тогда:
Можем вычислить полупериметр:
Используем формулу Герона:
А теперь внимание! Мы, как и предполагали в начальных рассуждениях, получили, что АВ иметь два значения. Но что это значит в наглядном виде? Если АВ=10, то ВС будет равно 17. Если АВ=17, то ВС будет равно 10. Так будут выглядеть эти два треугольника:
Ответ: 10 или 17
Данная задача и много других интересных задач на проекте «Задачи по геометрии» для вас!