Подготовка к ЕГЭ по математике 2017 бесплатно!
Бесплатный метод устранения головной боли!

Найти угол между прямой и плоскостью

   Здравствуйте, Дорогие друзья! Продолжаем рассматривать по геометрии, одна уже была рассмотрена ранее. В этой статье представлена задача, где требуется найти угол между прямой и плоскостью в правильной пирамиде.

В правильной треугольной пирамиде SABC  с основанием ABC известны ребра:

Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер AS и BC.

Решение:

В правильной треугольной пирамиде в основании лежит треугольник с равными сторонами. Построим данную пирамиду с вершиной S. Отметим середину ребра SA точкой М, середину ребра ВС точкой N. Соединим точки M и N, S и N, A и N.

 

Нам необходимо найти угол ANM в треугольнике  ANM.

В этом треугольнике по теореме косинусов:

Значит, косинус искомого угла равен:

То есть для нахождения угла  нам необходимо найти AM, AN, MN.

Из прямоугольного треугольника ANC по теореме Пифагора мы можем найти AN:

Найдём MN. Так как  AM = MS, то MN является медианой в треугольнике ANS. Формула для нахождения медианы треугольника:

Длины AS и AN нам известны, найдём SN. По теореме Пифагора:

Значит,

Таким образом,

Ещё один способ (представлен на сайте РЕШУ ЕГЭ):

Прямая AS проектируется на плоскость основания и прямую AN. Поэтому проекция точки M  — точка M1 — лежит на отрезке AN. Значит, прямая AN является проекцией прямой MN, следовательно, угол MNM1 — искомый.

MM1||SO, где O — центр основания.

Значит, MM1  — средняя линия треугольника ASO потому M1 делит  AO пополам. Тогда

Из прямоугольного треугольника AMM1 находим:

Из прямоугольного треугольника MM1N  находим:

Значит, искомый угол равен:

Ответ: arctg (12/7)

Обратите внимание, что получены разные ответы в первом и втором способе. Если вы, вычисляя угол, решите задачу двумя способами для проверки, и получите разные значения, то это не говорит о том, что вы допустили ошибку. Если вычислить на калькуляторе:

то получим один и тот же угол. Просто он выражен через различные функции. Смотрите!  Имеем  значение угла:

Используя формулы тригонометрии найдём sin x, cos x, ctg x:

Далее

То есть

Найдём котангенс:

То есть

Получили:

Как видите, все представленные углы равны, только выражены они разными тригонометрическими функциями.

Стоит добавить, что есть формулы, которые используются  при решении задач в курсе геометрии довольно редко. Но необходимость в них может возникнуть. Это, например, формула  медианы в треугольнике. Поэтому будет хорошо, если вы запомните как можно больше теоретических фактов (формул, теорем, следствий). В частности, рекомендую выучить формулы медианы, биссектрисы и высоты в треугольнике, выраженные через его стороны  (или, по крайней мере, «иметь» их с собой на ЕГЭ):

проведённые к стороне a

Формула  медианы треугольника:

Формула  биссектрисы треугольника:

Формула  высоты треугольника:

В будущем продолжим рассматривать задачи по геометрии, не пропустите! На этом закончим.

На десерт для вас видео. Немного мудрых мыслей.

 

 

Успехов вам!

С уважением, Александр Крутицких. 

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.


Подготовка к ОГЭ по математике. Полный курс!

Школа репетиторов Анны Малковой. Супер тренинг!

Онлайн-обучение, подготовка к ЕГЭ и ОГЭ по предметам!

50 базовых упражнений лечебной физкультуры!

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

*