Здравствуйте, Дорогие друзья! Продолжаем рассматривать по геометрии, одна уже была рассмотрена ранее. В этой статье представлена задача, где требуется найти угол между прямой и плоскостью в правильной пирамиде.
В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны ребра:
Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер AS и BC.
Решение:
В правильной треугольной пирамиде в основании лежит треугольник с равными сторонами. Построим данную пирамиду с вершиной S. Отметим середину ребра SA точкой М, середину ребра ВС точкой N. Соединим точки M и N, S и N, A и N.
Нам необходимо найти угол ANM в треугольнике ANM.
В этом треугольнике по теореме косинусов:
Значит, косинус искомого угла равен:
То есть для нахождения угла нам необходимо найти AM, AN, MN.
Из прямоугольного треугольника ANC по теореме Пифагора мы можем найти AN:
Найдём MN. Так как AM = MS, то MN является медианой в треугольнике ANS. Формула для нахождения медианы треугольника:
Длины AS и AN нам известны, найдём SN. По теореме Пифагора:
Значит,
Таким образом,
Ещё один способ (представлен на сайте РЕШУ ЕГЭ):
Прямая AS проектируется на плоскость основания и прямую AN. Поэтому проекция точки M — точка M1 — лежит на отрезке AN. Значит, прямая AN является проекцией прямой MN, следовательно, угол MNM1 — искомый.
MM1||SO, где O — центр основания.
Значит, MM1 — средняя линия треугольника ASO потому M1 делит AO пополам. Тогда
Из прямоугольного треугольника AMM1 находим:
Из прямоугольного треугольника MM1N находим:
Значит, искомый угол равен:
Ответ: arctg (12/7)
Обратите внимание, что получены разные ответы в первом и втором способе. Если вы, вычисляя угол, решите задачу двумя способами для проверки, и получите разные значения, то это не говорит о том, что вы допустили ошибку. Если вычислить на калькуляторе:
то получим один и тот же угол. Просто он выражен через различные функции. Смотрите! Имеем значение угла:
Используя формулы тригонометрии найдём sin x, cos x, ctg x:
Далее
То есть
Найдём котангенс:
То есть
Получили:
Как видите, все представленные углы равны, только выражены они разными тригонометрическими функциями.
Стоит добавить, что есть формулы, которые используются при решении задач в курсе геометрии довольно редко. Но необходимость в них может возникнуть. Это, например, формула медианы в треугольнике. Поэтому будет хорошо, если вы запомните как можно больше теоретических фактов (формул, теорем, следствий). В частности, рекомендую выучить формулы медианы, биссектрисы и высоты в треугольнике, выраженные через его стороны (или, по крайней мере, «иметь» их с собой на ЕГЭ):
проведённые к стороне a
Формула медианы треугольника:
Формула биссектрисы треугольника:
Формула высоты треугольника:
В будущем продолжим рассматривать задачи по геометрии, не пропустите! На этом закончим. Успехов вам!
С уважением, Александр Крутицких.
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
