Площадь сектора круга и площадь сегмента учить не нужно! Дорогие друзья! Вы, наверное, не раз просматривали справочник с математическими формулами, и, наверняка, возникала мысль: «Да разве возможно их все выучить?». Скажу вам, что возможно, но зачем? Зачем забивать голову массой формул, постоянно повторять их, ужасаться тому, что какую-то забыл и снова повторять? Не надо!
На самом деле достаточно запомнить треть всех формул, базовых формул или ещё меньше. Далее вы поймёте о чём идёт речь. Все остальные формулы можно быстро вывести, зная основу, применяя логику, и запомнив принципы, которым нужно следовать.
Приведу пример, существует 32 формулы приведения, учить их – это бессмысленное занятие. Как быстро вспомнить любую из них — изложено в статье «Формулы приведения», посмотрите.
В этой статье мы рассмотрим, как быстро восстановить в памяти формулы площади сектора круга, площади его сегмента, длину дуги окружности. Именно эти формулы понадобятся для решения ряда по планиметрии, которые разберем в следующей статье. Итак, «базовые» формулы, их нужно выучить и знать!
Площади круга (формула):
Формула длины окружности:
Изобразим сектор, соответствующий определённому центральному углу n:
Рассуждаем логически: если площадь круга равна S=ПR2, то площадь соответствующая сектору в один градус будет равна 1/360 от площади круга (мы знаем, что вся окружность — это угол в 360 градусов), то есть
Далее понятно, что площадь сектора, соответствующая центральному углу в n градусов равна произведению одной тристашестидесятой площади круга и центрального угла n (соответствующего сектору), то есть
Вот вам и формула площади сектора.
Или можно выстроить рассуждение следующим образом:
Сектор в 1 градус — это 1/360 часть круга, соответственно сектор в n градусов — это n/360 часть круга. То есть площадь сектора будет равна произведению площади круга и этой части:
Далее найдём площадь сегмента.
Всё просто. Необходимо из площади сектора вычесть площадь треугольника (он обозначен жёлтым цветом). Площадь треугольника, как мы знаем, равна половине произведения соседних сторон на синус угла между ними (эту формулу нужно знать, она не сложная). В данном случае это:
Значит,
Вот вам и площадь сегмента!
Площадь сегмента, где центральный угол больше 180 градусов находится просто:
Из площади круга вычитаем площадь полученного нами сегмента:
Угол 360 – n градусов это угол, который соответствует изображённому сектору (жёлтый цвет):
То есть, другими словами, к его площади мы прибавляем площадь треугольника и получаем площадь оговоренного сегмента.
Аналогичным образом определяем длину дуги окружности. Как уже сказано, длина окружности равна:
Значит, длина дуги окружности соответствующая одному градусу будет равна одной тристашестидесятой от 2πR, то есть
Далее понятно, что длина дуги, соответствующая центральному углу в n градусов равна произведению одной тристашестидесятой длины окружности и соответствующему углу, то есть
Получили длину дуги окружности. Конечно, данную информацию учителя дают ученикам, и ничего такого секретного вы не узнали. Но, уверен, статья принесёт вам пользу.
Повторюсь, что самое главное — знать формулы площади круга и длины окружности, а далее работает только логика.
Предлагаю посмотреть дополнительный урок Дмирия Тарасова на эту тему. Рассматриваются формулы длины дуги окружности и площади сектора, где центральный угол задан в радианной мере.
На этом всё. Успехов Вам!!
С уважением, Александр Крутицких.
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
