Найдите расстояние между вершинами

В данной статье хочу рассказать вам об определённом типе задач по стереометрии, одну из которых, возможно, предстоит решить именно вам на ЕГЭ по математике. Это задачи на решение составных многогранников:

Обычно требуется найти расстояние (или квадрат расстояния) между двумя точками; какой-либо угол, либо значение одной из тригонометрических функций обозначенного в условии угла.

Для решения  необходимо знать совсем не много теории: теорему Пифагора; определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса в прямоугольном треугольнике; значения углов тригонометрических функций.

Рассмотрим задачи:

Найдите расстояние между вершинами А и С₂  многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Результат умножьте на  корень из шести  и запишите ответ.

Соединим точки  А и С₂   и рассмотрим  прямоугольный треугольник АА₂С₂:

По теореме Пифагора:

Ответ: 6

Найдите угол САD₂ многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте в градусах.

Соединим точки C, А, D₂:

Рассмотрим треугольник CАD₂:  AC = CD₂ = AD₂, так как являются диагоналями квадратов со сторонами равными 8. Следовательно, треугольник CАD₂ – равносторонний, то есть все его  углы равны 60°.

Таким образом, угол CАD₂ = 60°.

Ответ: 60

Соединим точки B₂, B₃ и D₃. Рассмотрим прямоугольный треугольник B₂B₃D₃:

По теореме Пифагора:

Ответ: 12

Найдите тангенс угла АBB₃ многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Соединим точки В и B₃, из точки B₃ опустим перпендикуляр на ребро АВ, точку пересечения обозначим как К. Рассмотрим прямоугольный треугольник КВB₃:

Ответ: 2

Найдите квадрат расстояния между вершинами D и C₂ многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Соединим точки В  и C₂, а так же C₂  и С:

Рассмотрим прямоугольный треугольник СВС₂.  По теореме Пифагора:

Ответ: 46

245376. Найдите квадрат расстояния между вершинами В₂ и D₂ многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Посмотреть решение

245380. Найдите тангенс угла AВB₃ многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Посмотреть решение

245382. Найдите квадрат расстояния между вершинами D и C₂ многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Посмотреть решение

При решении подобных заданий главное – это «увидеть» треугольник, в который входит искомый элемент (отрезок, угол) и построить этот треугольник.  А далее уже использовать указанную в начале статьи теорию.

Есть ещё задачи с параллелепипедами:

245359   245360   245361   245362   245363

Процесс решения в них сводится к решению прямоугольного треугольника: нужно найти расстояние между вершинами (квадрат расстояния), либо заданный угол.

Мы продолжим рассматривать задачи по стереометрии? не пропустите! На этом всё. Как видите, ничего сложного. Успеха вам!

С уважением, Александр.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.