Угол на клетчатой бумаге. В этой статье мы с вами рассмотрим задачу, суть которой заключается в том, чтобы найти синус, косинус, тангенс или котангенс угла, построенного на листе в клетку. Такие задания входят в состав экзамена по математике.
Способы решения существуют разные, их более трёх. Подход изложенный ниже можно было бы назвать универсальным. Если у вас найдутся задачи, которые вы таким способом решить не сможете, пришлите мне их, подберём другой. Углы могут быть построены следующим образом (примеры):
Итак, рассмотрим задание:
Найдите тангенс угла AOB. В ответе укажите значение тангенса, умноженное на 8.
Соединим точки А и В. Получили треугольник АОВ. На сторонах полученного треугольника построим прямоугольные треугольники так, чтобы эти стороны являлись гипотенузами.
Суть подхода такова: находим все стороны треугольника (это можно сделать по теореме Пифагора); далее используя теорему косинусов, мы можем найти косинус угла; зная косинус мы без труда найдём остальные тригонометрические функции (синус, тангенс, котангенс).
АВ это гипотенуза в прямоугольном треугольнике с катетами 4 и 3,
ОВ это гипотенуза в прямоугольном треугольнике с катетами 6 и 1,
OА является гипотенузой в прямоугольном треугольнике с катетами 4 и 2,
По теореме косинусов: квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.
Из основного тригонометрического тождества можем найти sin AOB:
*Обратите внимание, что перед знаком корня у нас «+», так как угол острый (от 0 до 90 градусов). А синус острого угла имеет положительное значение.
Теперь можем найти тангенс:
Умножим результат на 8 и запишем ответ:
Ответ: 11
Ещё раз повторим: как бы не был построен угол, мы всегда можем достроить его до треугольника, найти стороны этого треугольника (используя теорему Пифагора), далее используя теорему косинусов найти косинус угла (заданного в условии). Затем не составит труда, используя основное тригонометрическое тождество, найти синус. Тангенс и котангенс далее не сложно найти по их формулам.
Ниже предложено самостоятельно решить задачи. При их решении на сайте использовались и другие способы (вы решите представленным выше):
Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на два корня из двух.
Найдите тангенс угла AOB.
Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на половину корня из пяти.
Найдите косинус угла AOB. В ответе укажите значение косинуса, умноженное на два корня из пяти.
Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на два корня из двух.
Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на 2 корня из двух.
Найдите тангенс угла AOB.
В данной рубрике продолжим рассматривать задачи, не пропустите!
С уважением, Александр Крутицких.
*Делитесь информацией в социальных сетях )
Решение первой задачи неоправданно длинное для ЕГЭ. Достроив до прямоугольника, получаем сумму трех углов 90 градусов. Тогда угол АОВ находится как разность 90- (угол1 +угол2). Найдем по формуле приведения ctg AOB= ctg (90- (угол 1+угол 2)=tg (угол1+ угол2).дальше из прямоуголных треугольников легко находим, что tg угол1= 0,5 ; tg угол 2= 1/6. По формуле тангенса суммы двух углов получаем ctg AOB= (½+1/6)/(1-½.1/6)=8/11. Значит tg AOB=11/8.
Оксана, здравствуйте! Предложенный способ на самом прост и вычисления здесь просто выглядят громоздко. Вы попробуйте решить аналогичную задачу таким способом и убедитесь, что она решается за две минуты. Не все легко и быстро могут вспомнить формулы приведения и формулы суммы и разности углов. То, что предложено хорошая альтернатива. Ваше решение и данный подход хорош, знаю его и ещё парочку, но руки пока не доходят опубликовать, может в следующей статье... Спасибо за комментарий.
Я решал задание из «Проверь себя».
Я нашел каждую сторону BQ=4, BT=√32 и TQ=√80 соответственно.
Применил формулу, нашел косинус, который равен 12/√160. Отсюда синус=4/√160. И при делении получилось 1/3. Скажите пожалуйста, что я сделал не так?
Альберт, если имеете ввиду угол Т, то всё верно: тангенс равен 1/3, (котангенс равен трём). Или вы про другой угол?
При обновлении страницы примеры меняются, поэтому уже я сам постараюсь разобраться 🙂 Но спасибо за то, что откликаетесь на каждое сообщение!
А вот у меня немного другой чертеж надо найти тангенс и я не могу его найти
Роман, не важно какой чертёж. Попробуй представленный способ. Подходит для любого чертежа. Не получится, загрузи рисунок на облако майл.ру и дай ссылку, я посмотрю.
Здравствуйте, как решается первая задача из «проверь себе» способом, который вы показали выше.
Настя, мне не понятно — Какая первая? Эти задачи сортируются. И у меня они в другом порядке показываются ...