Подготовка к ЕГЭ по математике 2017 бесплатно!
Программируемые LEGO конструкторы! Посмотреть!

Угол на клетчатой бумаге

Угол на клетчатой бумаге. В этой статье мы с вами рассмотрим задачу, суть которой заключается в том, чтобы найти синус, косинус, тангенс или котангенс угла, построенного на листе в клетку. Такие задания входят в состав экзамена по математике. 

Способы решения существуют разные, их более трёх. Подход изложенный ниже можно было бы назвать универсальным. Если у вас найдутся задачи, которые вы таким способом решить не сможете, пришлите мне их, подберём другой. Углы могут быть построены следующим образом (примеры):

Итак, рассмотрим задание:

 

Найдите тангенс угла AOB. В ответе укажите значение тангенса, умноженное на 8.

 

Соединим точки А и В. Получили треугольник АОВ. На сторонах полученного треугольника построим прямоугольные треугольники так, чтобы эти стороны являлись гипотенузами.

Суть подхода такова: находим все стороны треугольника (это можно сделать по теореме Пифагора); далее используя теорему косинусов, мы можем найти косинус угла; зная косинус мы без труда найдём остальные тригонометрические функции (синус, тангенс, котангенс).

АВ это гипотенуза в прямоугольном треугольнике с катетами 4 и 3,

ОВ это гипотенуза в прямоугольном треугольнике с катетами 6 и 1, 

OА является гипотенузой в прямоугольном треугольнике с катетами 4 и 2,

По теореме косинусов: квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, без удвоенного произведения этих сторон на косинус  угла между ними.

Из основного тригонометрического тождества можем найти sin AOB:

*Обратите внимание, что перед знаком корня у нас «+», так как угол острый (от 0 до 90 градусов). А синус острого угла имеет положительное значение. 

Теперь можем найти тангенс:

Умножим результат на 8 и запишем ответ:

Ответ: 11

Ещё раз повторим: как бы не был построен угол, мы всегда можем достроить его до треугольника, найти стороны этого треугольника (используя теорему Пифагора), далее используя теорему косинусов найти косинус угла (заданного в условии). Затем не составит труда, используя основное тригонометрическое тождество, найти синус. Тангенс и котангенс далее не сложно найти по их формулам.

Ниже предложено самостоятельно решить задачи. При их решении на сайте использовались и другие способы (вы решите представленным выше):

Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на два корня из двух.

Посмотреть решение

Найдите тангенс угла AOB.

Посмотреть решение

Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на половину корня из пяти.

Посмотреть решение

Найдите косинус угла AOB. В ответе укажите значение косинуса, умноженное на два корня из пяти.

Посмотреть решение

Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на  два корня из двух.

Посмотреть решение

Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на 2 корня из двух.

Посмотреть решение

Найдите тангенс угла AOB.

Посмотреть решение

В данной рубрике продолжим рассматривать задачи, не пропустите!

Успехов вам!

С уважением, Александр Крутицких. 

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.


Подготовка к ОГЭ по математике. Полный курс!

Школа репетиторов Анны Малковой. Супер тренинг!

Онлайн-обучение, подготовка к ЕГЭ и ОГЭ по предметам!

50 базовых упражнений лечебной физкультуры!

Отзывов (7)
  1. Оксана

    Решение первой задачи неоправданно длинное для ЕГЭ. Достроив до прямоугольника, получаем сумму трех углов 90 градусов. Тогда угол АОВ находится как разность 90- (угол1 +угол2). Найдем по формуле приведения ctg AOB= ctg (90- (угол 1+угол 2)=tg (угол1+ угол2).дальше из прямоуголных треугольников легко находим, что tg угол1= 0,5 ; tg угол 2= 1/6. По формуле тангенса суммы двух углов получаем ctg AOB= (½+1/6)/(1-½.1/6)=8/11. Значит tg AOB=11/8.

    • Александр Крутицких

      Оксана, здравствуйте! Предложенный способ на самом прост и вычисления здесь просто выглядят громоздко. Вы попробуйте решить аналогичную задачу таким способом и убедитесь, что она решается за две минуты. Не все легко и быстро могут вспомнить формулы приведения и формулы суммы и разности углов. То, что предложено хорошая альтернатива. Ваше решение и данный подход хорош, знаю его и ещё парочку, но руки пока не доходят опубликовать, может в следующей статье... Спасибо за комментарий.

  2. Альберт

    Я решал задание из «Проверь себя».

    Я нашел каждую сторону BQ=4, BT=√32 и TQ=√80 соответственно.

    Применил формулу, нашел косинус, который равен 12/√160. Отсюда синус=4/√160. И при делении получилось 1/3. Скажите пожалуйста, что я сделал не так?

    • Александр Крутицких

      Альберт, если имеете ввиду угол Т, то всё верно: тангенс равен 1/3, (котангенс равен трём). Или вы про другой угол?

      • Альберт

        При обновлении страницы примеры меняются, поэтому уже я сам постараюсь разобраться :) Но спасибо за то, что откликаетесь на каждое сообщение!

  3. Роман

    А вот у меня немного другой чертеж надо найти тангенс и я не могу его найти

    • Александр Крутицких

      Роман, не важно какой чертёж. Попробуй представленный способ. Подходит для любого чертежа. Не получится, загрузи рисунок на облако майл.ру и дай ссылку, я посмотрю.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

*