Полный видеокурс ЕГЭ по русскому языку!
Хитрые задачи на ЕГЭ по математике!

Угол на клетчатой бумаге

Угол на клетчатой бумаге. В этой статье мы с вами рассмотрим задачу, суть которой заключается в том, чтобы найти синус, косинус, тангенс или котангенс угла, построенного на листе в клетку. Такие задания входят в состав экзамена по математике. 

Способы решения существуют разные, их более трёх. Подход изложенный ниже можно было бы назвать универсальным. Если у вас найдутся задачи, которые вы таким способом решить не сможете, пришлите мне их, подберём другой. Углы могут быть построены следующим образом (примеры):

Итак, рассмотрим задание:

 

Найдите тангенс угла AOB. В ответе укажите значение тангенса, умноженное на 8.

 

Соединим точки А и В. Получили треугольник АОВ. На сторонах полученного треугольника построим прямоугольные треугольники так, чтобы эти стороны являлись гипотенузами.

Суть подхода такова: находим все стороны треугольника (это можно сделать по теореме Пифагора); далее используя теорему косинусов, мы можем найти косинус угла; зная косинус мы без труда найдём остальные тригонометрические функции (синус, тангенс, котангенс).

АВ это гипотенуза в прямоугольном треугольнике с катетами 4 и 3,

ОВ это гипотенуза в прямоугольном треугольнике с катетами 6 и 1, 

OА является гипотенузой в прямоугольном треугольнике с катетами 4 и 2,

По теореме косинусов: квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, без удвоенного произведения этих сторон на косинус  угла между ними.

Из основного тригонометрического тождества можем найти sin AOB:

*Обратите внимание, что перед знаком корня у нас «+», так как угол острый (от 0 до 90 градусов). А синус острого угла имеет положительное значение. 

Теперь можем найти тангенс:

Умножим результат на 8 и запишем ответ:

Ответ: 11

Ещё раз повторим: как бы не был построен угол, мы всегда можем достроить его до треугольника, найти стороны этого треугольника (используя теорему Пифагора), далее используя теорему косинусов найти косинус угла (заданного в условии). Затем не составит труда, используя основное тригонометрическое тождество, найти синус. Тангенс и котангенс далее не сложно найти по их формулам.

Ниже предложено самостоятельно решить задачи. При их решении на сайте использовались и другие способы (вы решите представленным выше):

Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на два корня из двух.

Посмотреть решение

Найдите тангенс угла AOB.

Посмотреть решение

Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на половину корня из пяти.

Посмотреть решение

Найдите косинус угла AOB. В ответе укажите значение косинуса, умноженное на два корня из пяти.

Посмотреть решение

Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на  два корня из двух.

Посмотреть решение

Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на 2 корня из двух.

Посмотреть решение

Найдите тангенс угла AOB.

Посмотреть решение

В данной рубрике продолжим рассматривать задачи, не пропустите!

С уважением, Александр Крутицких.

*Делитесь информацией в социальных сетях )


Подготовка к ОГЭ по математике. Полный курс!

Полный Видеокурс по РУССКОМУ ЯЗЫКУ!

ПРЕМИУМ-КУРС по математике на 100 баллов!

Замучили боль и скованность в мышцах спины?

Отзывов (9)
  1. Оксана

    Решение первой задачи неоправданно длинное для ЕГЭ. Достроив до прямоугольника, получаем сумму трех углов 90 градусов. Тогда угол АОВ находится как разность 90- (угол1 +угол2). Найдем по формуле приведения ctg AOB= ctg (90- (угол 1+угол 2)=tg (угол1+ угол2).дальше из прямоуголных треугольников легко находим, что tg угол1= 0,5 ; tg угол 2= 1/6. По формуле тангенса суммы двух углов получаем ctg AOB= (½+1/6)/(1-½.1/6)=8/11. Значит tg AOB=11/8.

    • Александр Крутицких

      Оксана, здравствуйте! Предложенный способ на самом прост и вычисления здесь просто выглядят громоздко. Вы попробуйте решить аналогичную задачу таким способом и убедитесь, что она решается за две минуты. Не все легко и быстро могут вспомнить формулы приведения и формулы суммы и разности углов. То, что предложено хорошая альтернатива. Ваше решение и данный подход хорош, знаю его и ещё парочку, но руки пока не доходят опубликовать, может в следующей статье... Спасибо за комментарий.

  2. Альберт

    Я решал задание из «Проверь себя».

    Я нашел каждую сторону BQ=4, BT=√32 и TQ=√80 соответственно.

    Применил формулу, нашел косинус, который равен 12/√160. Отсюда синус=4/√160. И при делении получилось 1/3. Скажите пожалуйста, что я сделал не так?

    • Александр Крутицких

      Альберт, если имеете ввиду угол Т, то всё верно: тангенс равен 1/3, (котангенс равен трём). Или вы про другой угол?

      • Альберт

        При обновлении страницы примеры меняются, поэтому уже я сам постараюсь разобраться 🙂 Но спасибо за то, что откликаетесь на каждое сообщение!

  3. Роман

    А вот у меня немного другой чертеж надо найти тангенс и я не могу его найти

    • Александр Крутицких

      Роман, не важно какой чертёж. Попробуй представленный способ. Подходит для любого чертежа. Не получится, загрузи рисунок на облако майл.ру и дай ссылку, я посмотрю.

  4. настя

    Здравствуйте, как решается первая задача из «проверь себе» способом, который вы показали выше.

    • Александр

      Настя, мне не понятно — Какая первая? Эти задачи сортируются. И у меня они в другом порядке показываются ...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

четырнадцать + 15 =

*Нажимая на кнопку, я даю согласие на рассылку, обработку персональных данных и принимаю политику конфиденциальности.