Здравствуйте! Очередной материал от репетитора Евгения Маслова, человека ищущего и любящего математику (вместе с информатикой). Выведенная им формула будет вам крайне полезна при решении экономической задачи на экзамене.
Экономическую задачу ввели в экзамен ЕГЭ «Профиль по математике» только с 2015 года. Она стала называться заданием номер 17 и по своей сложности находится на одном уровне с заданиями на параметры и теорию чисел.
Крайне низкая статистика решения экономической задачи объясняется и сложностью задания и просто тем, что такой темы просто нет в наших учебниках по алгебре.
Конечно, на различных сайтах и в математической литературе можно найти решения таких задач, но зачастую либо они содержат много лишней информации, либо они решены непонятным для ученика способом.
Расчет аннуитетного платежа. При решении задач, связанных с указанными платежами достаточно удобно работать, используя модели платежей, сведенные в следующую таблицу:
X – сумма кредита
r — величина процентов, на которую остаток долга увеличивается ежегодно
Повышающий коэффициент:
n – количество платежей
x – сумма ежегодного платежа, каждый год одна и та же
Для вычисления подобных рядов как: 1+q+q2+q3 рекомендуется воспользоваться формулой суммы n первых членов геометрической прогрессии:
Если с помощью лобовой атаки пытаться решать подобную задачу, к примеру, при r = 11%, и n=4, то модель задачи будет выглядеть следующим образом:
Даже использование формулы геометрической прогрессии и представления повышающего коэффициента в виде:
не избавит ученика от многоступенчатых вычислений и неизбежных ошибок, если модель задачи использовать в виде «как есть».
Шагом вперед будет, если до конца довести в общем виде экономическую модель задачи в совокупности с формулой суммы n первых членов геометрической прогрессии.
Для этого представим q как обыкновенную дробь, где a — числитель и b — знаменатель взаимно простые числа:
Тогда (смотри в таблице строку с n):
Формула для аннуитетных платежей Евгения Маслова
Окончательная формула выведена, которая уже не зависит от вида исходной экономической модели (смотри таблицу), завязанной на количество платежей. Теперь количество платежей влияет только на показатели степени, а сама формула остается неизменной.
Конечно, ученику на экзамене придется эту формулу вывести, показывая свое понимание как экономической модели, так и формулы суммы n первых членов геометрической прогрессии. Но это и так пришлось бы делать без формулы.
Выведенная же формула полезна тем, что максимально упрощает вычисления. А на экзамене это как раз и важно, так как без использования калькулятора ученику очень легко обсчитаться. Чтобы найти ошибку придется проделывать весь длинный круг вычислений заново, а это дополнительная потеря драгоценного времени.
И еще одна приятная мелочь. Числа в подобных экономических задачах даны такие, как, к примеру, сумма кредита, что аккуратно посчитанный знаменатель по формуле очень часто хорошо сокращается.
Посмотрим, как работает формула на конкретной задаче, которую решали ученики на ЕГЭ в 2019 году.
Задание 17 №526699
В июле 2022 года планируется взять кредит на сумму 177120 рублей. Условия возврата таковы:
— в январе каждого года долг увеличивается на 25% по сравнению с предыдущим годом;
— с февраля по июнь нужно выплатить часть долга одним платежом.
Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?
*Источник: Резервная волна ЕГЭ по математике 24.06.2019, Задания 17 ЕГЭ 2019
По условию задачи:
Х = 177120 рублей – сумма кредита
r = 25% величина процентов, на которую остаток долга увеличивается ежегодно
Повышающий коэффициент:
n = 4 (количество платежей)
x – сумма ежегодного платежа, каждый год одна и та же.
Нахождение x, по рассматриваемой формуле для аннуитетных платежей, где
Таким образом, общая сумма выплат банку за 4 года будет равна:
Ответ: 300000 рублей
Простота формулы, ее вывода и использования, надеюсь, повысит шансы ученика на ЕГЭ получить более высокие баллы и, как следствие, повысит шансы для поступления в высшее учебное заведение своей мечты.
Формула уже прошла успешную обкатку с учениками учебного центра «Методист» г. Челябинска.Саму формулу называю своим именем, так как за пять лет существования экономической задачи такая формула не была еще никем предложена, так что имею полное право!
Теперь есть не только формула Дмитрия Гущина для модели задач по дифференцированным платежам, но и формула для аннуитетных платежей Евгения Маслова.
Руководитель направлений по математике
и информатике Евгений Маслов
Город Челябинск, центр «Методист»
