За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью 0,5 очка, за проигрыш 0 очков. В турнире принимают участие m мальчиков и d девочек, причём каждый играет с каждым дважды.
а) Каково наибольшее количество очков, которое в сумме могли набрать девочки, если m = 2, d = 2?
б) Какова сумма набранных всеми участниками очков, если m + d = 10?
в) Каковы все возможные значения d, если известно, что в сумме мальчики набрали ровно в 3 раза больше очков, чем девочки?
а) Девочки играют 8 партий против мальчиков (каждая по 4), и максимальное число очков, которое они могут набрать в них, это 8. Друг с другом девочки играют 2 партии, сумма очков, которые разыгрываются в этих партиях, равна 2. Поэтому наибольшее количество очков равно 2+8=10.
б) Если каждый играет с каждым по два раза, то состоится 18 туров, в каждом из которых играется по 5 партий. В каждой разыгрывается 1 очко, поэтому сумма всех набранных очков равна 90.
в) Докажем, что девочек может быть сколько угодно. Пусть мальчиков и девочек поровну: d мальчиков и d девочек. Тогда в двухкруговом турнире состоится d (d-1) партий между мальчиками и d (d-1) партий между девочками.
Всего партий в этом турнире будет 2d (2d-1), поэтому партий между мальчиками и девочками будет
Пусть девочки набрали в этих партиях d/2 очков. (Например, каждая девочка сыграла с одним из мальчиков вничью, а остальным проиграла). Тогда общее количество очков, набранных девочками, равно
Общее количество очков, набранных мальчиками равно:
Таким образом, мальчики набрали втрое больше очков, чем девочки.
Ответ: а) 10; б) 90; в) все натуральные числа.
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 87
