Предлагаю вашему вниманию ещё две задачи с параллелепипедами. На данный момент рассмотрены почти все задачи с кубами и параллелепипедами, которые присутствуют в открытом банке заданий ЕГЭ по математике. С ними вы можете ознакомиться, посмотрев предыдущие статьи. В представленных ниже задачах есть некоторые особенности. Что ж, приступим:
Одна из граней прямоугольного параллелепипеда — квадрат. Диагональ параллелепипеда равна 2 и образует с плоскостью этой грани угол 300. Найдите объем параллелепипеда.
Построим данный параллелепипед. Сказано, что диагональ образует с гранью, являющейся квадратом угол в 300, поэтому выполним построение следующим образом – грань в основании у нас будет являться квадратом, далее на этом основании строим сам параллелепипед, затем строим диагональ и обозначаем вершины:
Угол между диагональю и основанием это угол DBD1 в прямоугольном треугольнике BD1D, так как плоскость проходящая через точки D, B и D1 в данном параллелепипеде перпендикулярна плоскости основания.
Для того, чтобы найти объём параллелепипеда нам нужно знать три его рёбра.
В прямоугольном треугольнике BD1D мы можем найти DD1, так как нам известна его гипотенуза и острый угол:
Для того, чтобы найти рёбра AB и AD, достаточно знать чему равна диагональ BD квадрата ABCD.
Отрезок BD мы также можем найти из рассмотренного нами прямоугольного треугольника. По теореме Пифагора:
Теперь найдём АВ. По теореме Пифагора:
Так как AB = AD, то
Значит
Теперь можем найти объём параллелепипеда:
Ответ: 1,5
Гранью параллелепипеда является ромб со стороной 4 и острым углом 600. Одно из ребер параллелепипеда составляет с плоскостью этой грани угол 600 и равно 5. Найдите объем параллелепипеда.
*Условие данной задачи может некоторых немного «запутать», тем более, если не будет дан рисунок. Вроде как речь идёт об одной какой-то грани, которая является ромбом…
У кого-то может возникнуть вопрос: а что с остальными гранями, чем они являются и как расположены?
Так же сказано, что одно из рёбер с плоскостью этой грани составляет угол 600. Об остальных рёбрах вроде как и нет речи.
Здесь всё просто. Нужно помнить что представляет из себя параллелепипед – это тело, гранями которого являются параллелограммы.
Вернёмся к условию. Так как сказано, что одна из граней это ромб и одно из рёбер с данной гранью составляет угол 600, то смело можете сразу эту грань принять как основание параллелепипеда, при чём все остальные рёбра будут расположены под тем же углом к основанию, что оговоренное в условии.
Условие задачи могло бы звучать так:
Основанием параллелепипеда является ромб со стороной 4 и острым углом 600. Боковые рёбра параллелепипеда составляют с плоскостью этой грани угол 600 и равны 5. Найдите объем параллелепипеда.
Строим сам параллелепипед:
Покажем на эскизе заданные размеры:
Объём параллелепипеда равен произведению площади его основания и высоты:
S – площадь основания параллелепипеда
h – высота параллелепипеда
Площадь ромба (основание параллелепипеда) с острым углом в 60° равна двум площадям равносторонних треугольников:
*Использовали формулу: площадь треугольника равна половине произведения соседних сторон на синус угла межу ними.
Высоту можем найти из прямоугольного треугольника, в котором нам известна гипотенуза равная пяти и острый угол 600. По определению синуса в прямоугольном треугольнике:
Вычисляем объем:
Ответ: 60
27103. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна корню из восьми и образует углы 300, 300 и 450 с плоскостями граней параллелепипеда. Найдите объем параллелепипеда.
27104. Гранью параллелепипеда является ромб со стороной 1 и острым углом 600. Одно из ребер параллелепипеда составляет с этой гранью угол в 600 и равно 2. Найдите объем параллелепипеда.
В будущем продолжим рассматривать задачи по стереометрии, не пропустите!
На этом всё! Успеха вам!
С уважением, Александр
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.