Продолжаем рассматривать задачи, в которых требуется вычислить углы в треугольнике. В статье «Сумма углов треугольника. Часть 1!» уже было представлено решение некоторых задач, посмотрите обязательно. Треугольники рассматриваются совершенно различные.
Это целая группа заданий, входящих в ЕГЭ, где требуется знание лишь теоремы о сумме углов треугольника. Правда в некоторых задачах необходимо знание ещё некоторых свойств. Например, при решении одной из рассмотренных в этой статье используется свойство связанное с выпуклым четырёхугольником. Напомню его:
Сумма углов четырёхугольника равна 360 градусам
Следует добавить, что иногда в условии задаётся отношение углов. Что это значит? Вообще, если задано отношение сторон, углов, либо других элементов в любой фигуре, то это по сути говорит нам во сколько раз один элемент больше другого.
Например, стороны параллелограмма относятся как 1:4. Это означает, что одна его сторона больше другой в 4 раза, то есть они могут быть равны 2 и 8, 4 и 16, 10 и 40, 150 и 600, вариантов бесконечное множество. И получаются они умножением на один и тот же (один и тот) коэффициент:
1х и 4х
Этот коэффициент называется коэффициентом пропорциональности. Как правило в задачах, где задаются отношения каких-либо элементов, имеются ещё условия. Например, если в нашем параллелограмме будет дана сумма соседних сторон, то мы всегда сможем найти этот коэффициент пропорциональности и далее вычислить сами длины сторон. Пусть сумма соседних сторон будет равна 40, тогда получим
х + 4х = 40
5х = 40
х = 8
Стороны будут равны 8 и 32.
Рассмотрим задачи:
Один из внешних углов треугольника равен 65о. Углы, не смежные с данным внешним углом, относятся как 6:7. Найдите наибольший из них. Ответ дайте в градусах.
Сумма внутреннего угла треугольника и смежного с ним внешнего угла равна , значит
Введём коэффициент пропорциональности х и обозначим один неизвестный угол как 6х, другой 7х. По теореме о сумме углов треугольника:
Таким образом, больший угол будет равен 7∙5 = 350
Ответ: 35
*Можно было сразу использовать теорему о внешнем угле треугольника.
Один из углов равнобедренного треугольника равен 920. Найдите один из других его углов. Ответ дайте в градусах.
Рассмотрим данный треугольник AВC. Понятно, что угол 920 это угол при его вершине С. Почему?
Угол такой величины не может лежать в основании, так как в этом случае оба угла при основании в сумме составят 194 градуса, а это невозможно.
Поэтому обозначим угол А как x, тогда
Так как сумма углов треугольника равна 180 градусам, то
*Конечно, условие немного может запутать, не совсем обычно звучит «дан один угол, найти другой». Было бы понятнее, если бы стояло такое условие «угол при вершине равен 92 градуса, вычислить угол при основании». Но зная теорему о сумме углов треугольника вы всегда сможете проанализировать и понять, что в подобном задании имеется ввиду.
Ответ: 44
Углы треугольника относятся как 3:4:5. Найдите больший из них. Ответ дайте в градусах.
Известно, что о сумма углов треугольника равна 1800. Введём коэффициент пропорциональности x. Тогда меньший из его углов равен 3x, другие два угла равны 4x и 5x соответственно. Получаем уравнение
Таким образом, больший из углов треугольника равен 5∙150 = 750
Ответ: 75
Один угол равнобедренного треугольника на 1410 больше другого. Найдите меньший угол. Ответ дайте в градусах.
Рассмотрим равнобедренный треугольник AВC.
По свойству равнобедренного треугольника углы при его основании равны Сумма всех углов треугольника равна 1800. Понятно, что меньший угол это угол при основании треугольника. Если предположить, что он был бы большим, то в сумма углов при основании была бы больше 1800, а это невозможно.
Обозначим угол А через x, тогда
Получаем уравнение:
Меньший угол равен 13 градусам.
Ответ: 13
В треугольнике ABC угол A равен 300, угол B равен 710, CH — высота. Найдите разность углов ACH и BCH. Ответ дайте в градусах.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH. По свойству прямоугольного треугольника сумма его острых углов равна 900, то есть
Значит
Рассмотрим прямоугольный треугольник BCH. Аналогично:
Значит
Найдём разность
Ответ: 31
В треугольнике ABC угол A равен 630, а углы В и С — острые. BD и CE — высоты, пересекающиеся в точке O. Найдите угол DOE. Ответ дайте в градусах.
Рассмотрим четырёхугольник ADOE.
Известно, что сумма всех углов выпуклого четырёхугольника равна 3600, то есть
Так как СЕ и BD высоты, то
Таким образом, в четырёхугольнике известны три угла, можем найти четвёртый:
Ответ: 117
Два угла треугольника равны 750 и 500. Найдите тупой угол, который образуют высоты треугольника, исходящие из вершин этих углов. Ответ дайте в градусах.
Рассмотрим треугольник ABC. Построим высоты выходящие из этих вершин А и В. Пусть они пересекаются в точке О. Нам известно два угла в треугольнике, найдём третий:
Рассмотрим четырёхугольник CDOE. Сумма всех углов четырёхугольника равна 3600, значит
Таким образом, искомый угол равен 125 градусам.
Ответ: 125
27749. Один из внешних углов треугольника равен 85о. Углы, не смежные с данным внешним углом, относятся как 2:3. Найдите наибольший из них. Ответ дайте в градусах.
27750. Один из углов равнобедренного треугольника равен 980. Найдите один из других его углов. Ответ дайте в градусах.
27752. Углы треугольника относятся как 2:3:4. Найдите меньший из них. Ответ дайте в градусах.
27754. Один угол равнобедренного треугольника на 900 больше другого. Найдите меньший угол. Ответ дайте в градусах.
27756. В треугольнике ABC угол A равен 600, угол B равен 700, CH — высота. Найдите разность углов ACH и BCH. Ответ дайте в градусах.
27762. В треугольнике ABC угол A равен 720, а углы В и С — острые. BD и CE — высоты, пересекающиеся в точке O. Найдите угол DOE. Ответ дайте в градусах.
27763. Два угла треугольника равны 580 и 720. Найдите тупой угол, который образуют высоты треугольника, выходящие из вершин этих углов. Ответ дайте в градусах.
На этом всё! В будущем рассмотрим ещё задания, связанные с вычислением углов в треугольнике, не пропустите!
С уважением, Александр Крутицких.
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
Спасибо вам большое.