Подготовка к ЕГЭ по математике 2017 бесплатно!
Программируемые LEGO конструкторы! Посмотреть!

Площадь треугольника. Задачи!

   Здравствуйте, друзья! В состав ЕГЭ входит группа заданий, при решении которых используются формулы площадей параллелограмма и площадей треугольника. Мы их подробно рассмотрели в прошлой статье «Площадь треугольника. Шесть формул!». Задачи простенькие, необходимо знать указанные формулы и уметь производить элементарные алгебраические преобразования. Рассмотрим задания:

Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 300. Боковая сторона треугольника равна 5. Найдите площадь этого треугольника. 

Известен угол С, он равен 30 градусам. Известны стороны АС и ВС, они равны 5.

*Известно, что в равнобедренном треугольнике боковые стороны равны.

Используем формулу для нахождения площади:

*Площадь треугольника равна половине произведения двух соседних сторон на синус угла между ними.

В данном случае:

Ответ: 6,25

Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 1500. Боковая сторона треугольника равна 24. Найдите площадь этого треугольника.

От предыдущей задачи эта отличается тем, что угол при её вершине тупой. Используем ту же формулу для нахождения площади треугольника:

В данном случае:

*Не забывайте тот факт, что синусы смежных углов равны. Формулы приведения можно посмотреть здесь.

Значит

Ответ: 144

Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 40 и 20, а угол между ними равен 300.

Известны две стороны и угол между ними. Используем формулу для нахождения площади:

В данном случае:

Ответ: 200

Площадь треугольника ABC равна 176. DE — средняя линия. Найдите площадь треугольника CDE.

Вспомним, что такое средняя линия в треугольнике, и что нам это даёт. Средняя линия в треугольнике – это отрезок соединяющий середины соседних сторон, она параллельна третьей стороне.

Что ещё известно о ней? 

Средняя линия треугольника равна половине параллельного ему основания, то есть:

Так же можно добавить, что она делит высоту, проведённую к основанию параллельному ей, на два равных отрезка.

Используем формулу:

Площадь треугольника равна половине произведения основания и высоты опущенной на это основание.

В данном случае:

Если мы выразим площадь треугольника DCE относительно АВ и hАВ, то далее без труда вычислим площадь искомого треугольника через отношение площадей.

Выразим площадь треугольника DCE.

Высота  треугольника DCE  в 2 раза меньше высоты треугольника ABC, значит она равна:

Как уже сказано, средняя линия в треугольнике равна половине стороны ей параллельной, значит:

Таким образом:

*Нам  не нужно находить ни длины оснований треугольников, ни высоты.

Вычислим, чему равно отношение площадей треугольников:

То есть площадь треугольника DCE меньше площади треугольника ABC в 4 раза. Таким образом:

*Данный путь решения, конечно, рациональным не является. Просто показано, как такая задача решается с использованием формулы площади и знания свойств средней линии треугольника.

Задача решается устно. Достаточно вспомнить формулу для отношения площадей подобных фигур, информация об этом на сайте имеется. Коэффициент пропорциональности в данном случае равен 0,5. Поэтому решение будет выглядеть следующим образом:

Ответ: 44

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 87, а основание равно 126. Найдите площадь этого треугольника.

Известны три стороны, можно воспользоваться формулой Герона:

р – где это полупериметр.

Вычислим его:

Находим площадь:

*Второй вариант.

Основание известно. Построив высоту опущенную на основание, можно найти её из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора и далее воспользоваться формулой площади.

Ответ: 3780

Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 300. Найдите боковую сторону треугольника, если его площадь равна 1444. 

Угол С равен 30 градусам. Площадь равна 1444.

Используем формулу площади треугольника:

Треугольник равнобедренный, это значит, что его боковые стороны равны, то есть АС = СВ, значит:

Боковая сторона треугольника равна 76.

*Как извлекать квадратный  корень из большого числа без калькулятора можно посмотреть здесь.

Ответ: 76

Площадь остроугольного треугольника равна 90. Две его стороны равны 20 и 18. Найдите угол между этими сторонами. Ответ дайте в градусах.

Нам известна площадь треугольника, и две его стороны. Угол между этими сторонами можем найти использовав формулу площади треугольника:

Выразим sin γ:

Таким образом:

Есть два угла, синус которых равен 0,5. Это угол 30 и 150 градусов. Поэтому будьте предельно внимательны при прочтении условия. В данном случае сказано, что треугольник остроугольный, следовательно ответ будет 300.

*Если бы  условии было сказано, что дан тупоугольный треугольник, то ответ был бы 1500.

Ответ: 30

Следующие три задачи для вас не представит труда решить:

27587. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катеты равны 5 и 8. Ответ: 20.

25588. Площадь прямоугольного треугольника равна 16. Один из его катетов равен 4. Найдите другой катет. Ответ: 8

27617. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 6 и 10. Ответ: 24.

Ещё для самостоятельного решения:

27589. Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 300. Боковая сторона треугольника равна 10. Найдите площадь этого треугольника. 

Посмотреть решение

27590. Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 1500. Боковая сторона треугольника равна 20. Найдите площадь этого треугольника.

Посмотреть решение

27591. Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 8 и 12, а угол между ними равен 300.

Посмотреть решение

27592. Площадь треугольника ABC равна 4. DE — средняя линия. Найдите площадь треугольника CDE.

Посмотреть решение

27619. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 5, а основание равно 6. Найдите площадь этого треугольника.

Посмотреть решение

27620. Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 300. Найдите боковую сторону треугольника, если его площадь равна 25. 

Посмотреть решение

27622. Площадь остроугольного треугольника равна 12. Две его стороны равны 6 и 8. Найдите угол между этими сторонами. Ответ дайте в градусах.

Посмотреть решение

*По поводу данной задачи хочу сказать вам следующее. Условие составлено некорректно, имеется ошибка. Дело в том, что треугольник с такими характеристиками не может быть остроугольным. Оба варианта такого треугольника и при 30 и при 150 градусах между данными сторонами будут тупоугольными. При 1500 понятно почему, а при 300... 

Вы легко убедитесь построив такой треугольник соблюдая размерность сторон и угла между ними и увидите это визуально. Также это можно доказать вычислениями. Я предполагаю, что во всех аналогичных заданиях  имеется подобная ошибка. Совет простой: если в условии сказано, что треугольник остроугольный, то в ответе записывайте острый угол; если будет сказано, что он тупоугольный, то в записывайте тупой угол.

На данный момент этот тип задач исключен из открытого банка заданий ЕГЭ, возможно, именно из-за этой некорректности. На сайте РЕШУЕГЭ Дмитрия Гущина на момент написания этой статьи это задание есть. Возможно и на ЕГЭ такая  задача будет.

Приведу пример корректного условия задачи:

Площадь остроугольного треугольника равна 14. Две его стороны равны 7 и 8. Найдите угол между этими сторонами. Ответ дайте в градусах.

На этом всё! Успеха вам, дерзайте и всё будет!

С уважением, Александр Крутицких

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.


Подготовка к ОГЭ по математике. Полный курс!

Школа репетиторов Анны Малковой. Супер тренинг!

Онлайн-обучение, подготовка к ЕГЭ и ОГЭ по предметам!

50 базовых упражнений лечебной физкультуры!

Один отзыв
  1. Анна

    Спасибо большое, Александр. Отличная подборка задач и очень подробное разъяснение. Мне как,маме выпускника, очень полезна эта страничка.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

*