Подготовка к ЕГЭ по математике 2017 бесплатно!
Программируемые LEGO конструкторы! Посмотреть!

Объём тетраэдра

Объём тетраэдра. В данной статье мы с вами рассмотрим несколько заданий с пирамидами. Как известно, тетраэдр также является пирамидой. Смыл таков – все ребра пирамиды, либо только высота увеличивается в несколько раз. Понятно, что при этом увеличивается её объём пирамиды и площадь поверхности. Далее требуется вычислить во сколько раз происходит это увеличение.

1. Если увеличивается только высота пирамиды и стоит вопрос об изменении объёма, то понятно, что он увеличивается прямопропорционально исходному объёму пирамиды, так как зависимость линейная. Проще говоря, объём увеличивается во столько же раз, во сколько увеличена высота.

2. Если речь идёт об увеличении всех рёбер пирамиды в определённое количество раз, то здесь необходимо понимать, что в итоге получается пирамида подобная исходной, причём её грани также подобны соответствующим граням полученной пирамиды.

Позволю себе, на данный момент, по вопросу подобия фигур и тел предложить Вам обратиться к теории изложенной в учебнике. В скором будущем обязательно размещу отдельную статью на эту тему.

Что касается представленной группы задач, то отмечу, что с использованием свойств подобия такие задания решаются практически в одно действие.

Вот что необходимо помнить и знать:

 

То есть, если мы увеличим все рёбра пирамиды в k раз, то отношение площади любой её грани к площади исходной соответствующей ей грани будет равно k2. Естественно, что отношение полных площадей поверхностей таких пирамид также будет равно  k2.

А также:

То есть, если мы увеличим все рёбра пирамиды в k раз, то отношение объёма полученной пирамиды к объёму исходной  будет равно k3.

Напомню определение тетраэдра:

Тетраэдр -  правильный многогранник, имеет 4 грани,

которые являются правильными треугольниками.

Вершин у тетраэдра 4, к каждой вершине сходится 3 ребра,

а всего ребер 6. Тетраэдр является пирамидой.

Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в шестнадцать раз?

Тетраэдр это пирамида, все грани которой равносторонние треугольники.

Данная пирамида и пирамида полученная увеличением всех её рёбер в 16 раз будут являться подобными, коэффициент подобия соответственно будет равен 16.

Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия. То есть, как уже сказано, объём полученной  пирамиды равен произведению куба коэффициента подобия и объёма исходной пирамиды:

Определим во сколько раз увеличится объём, найдём отношение объёмов:

Таким образом, если все ребра увеличить в 16 раз, то объём увеличится в  4096 раз.

*Можно решить задачу по другому. Обозначить ребро тетраэдра как а, далее выразить его высоту. После этого определить объёмы пирамид используя формулу, а далее найти отношение полученных объёмов. Но такой путь будет неоправданно долгим и потребует в разы больше времени на решение.

Ответ: 4096

 

Во сколько раз увеличится объем пирамиды, если ее высоту увеличить в двенадцать раз?

Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания и высоты:

 S  – площадь основания

 h  – высота пирамиды

При увеличении высоты в 12 раз, объем пирамиды также увеличится в 12 раз (это прямолинейная зависимость):

Ответ: 12

 

Во сколько раз увеличится площадь поверхности правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в пять раза?

Отметим, что площадь поверхности тетраэдра равна сумме площадей его четырёх граней, которые являются правильными треугольниками.

Первый способ:

Определим площадь поверхности исходного тетраэдра и увеличенного, а затем найдём  отношение площадей.

Пусть ребро тетраэдра равно а, тогда площадь грани будет равна:

*Использовали формулу площади треугольника.

Значит площадь поверхности исходного тетраэдра будет равна:

Если рёбра тетраэдра увеличить в 5 раз, то площадь поверхности изменится следующим образом:

Отношение площадей равно:

Таким образом,  при увеличении ребер тетраэдра в пять раз, площадь его поверхности увеличится в 25 раз.

Второй способ:

Известно, что при увеличении (уменьшении) линейных размеров фигуры в k раз получается подобная ей фигура, их площади относятся как квадрат коэффициента подобия, то есть:

k – это есть коэффициент подобия

В данной задаче k=5.

То есть, с использованием свойства подобия задача решается устно:

*Площадь каждой грани пирамиды увеличится в 25 раз, а это означает, что площадь поверхности всей пирамиды также увеличится в 25 раз.

Ответ: 25

 

27172. Во сколько раз увеличится площадь поверхности пирамиды, если все ее ребра увеличить в 2 раза?

Данная задача от предыдущей ничем не отличается. Не имеет никакого значения идёт ли речь о тетраэдре, пирамиде, кубе, параллелепипеде или о другом многограннике. Если сказано, что все рёбра увеличиваются в одинаковое число раз, то полученные грани «нового» тела будут подобны соответствующим граням исходного тела. А это значит, что увеличение площади поверхности произойдёт в k2 раз (где k это коэффициент подобия).

Ответ: 4

Можете посмотреть задачи с кубами. В них речь идёт об увеличении площади поверхности или объёма.

Ещё одна задача такого же класса. Но в условии речь идёт об октаэдре. Октаэдр это многогранник с восьмью граниями, все гарани это правильные треугольники.

27157. Во сколько раз увеличится площадь поверхности октаэдра, если все его ребра увеличить в 3 раза?

При увеличении рёбер в три раза каждая грань полученного октаэдра будет подобна соответствующей ей грани исходного.  Площадь каждай грани увеличится в 32 раз, то есть в 9 раз. Значит и площадь всей поверхности также увеличится в 9 раз.

*Задача полностью аналогична  двум предыдущим задачам, только здесь речь идет об октаэдре. 

 

27085. Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в два раза?

Посмотреть решение

27089. Во сколько раз увеличится объем пирамиды, если ее высоту увеличить в четыре раза?

Посмотреть решение

27131. Во сколько раз увеличится площадь поверхности правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в два раза?

Посмотреть решение

На этом всё. Успеха Вам!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.


Подготовка к ОГЭ по математике. Полный курс!

Школа репетиторов Анны Малковой. Супер тренинг!

Онлайн-обучение, подготовка к ЕГЭ и ОГЭ по предметам!

50 базовых упражнений лечебной физкультуры!

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

*