Подготовка к ЕГЭ по математике 2017 бесплатно!
Программируемые LEGO конструкторы! Посмотреть!

Объём цилиндра

   Объём цилиндра. Здравствуйте, дорогие друзья! В этой статье мы с вами рассмотрим две задачи, в условии которых речь идёт об изменении параметров  цилиндра, а именно радиуса основания и высоты. Поставленный вопрос касается изменения объёма. Сложного ничего нет, необходимо знать формулу объёма цилиндра и понимать как «связать» объёмы двух данных тел учитывая условие задачи. Основная рекомендация будет такой:

1. Выражаем объёмы цилиндров, различно обозначив их радиусы и высоты (Rи Н1 также R2 и  Н2).

2. Затем связываем формально эти величины используя данные в условии.

3. Далее выражаем объёмы цилиндров через один и тот же радиус основания и высоту.

4. Затем определив взаимосвязь без труда можно ответить на поставленный вопрос, не важно требуется ли найти отношение объёмов, или конкретный объём одного из цилиндров. 

На примерах ниже всё подробно посмотрим. Напомню формулу объёма цилиндра:

27053. Объем первого цилиндра равен 12 м3. У второго цилиндра высота в три раза больше, а радиус основания — в два раза меньше, чем у первого. Найдите объем второго цилиндра. Ответ дайте в кубических метрах.

Нужно найти как соотносятся объёмы цилиндров. Обозначим радиус основания  2-го цилиндра как R2, а высоту как Н2. Тогда  её объем будет равен:

Объём первого цилиндра соответственно будет равен:

Сказано, что у второго цилиндра высота в три раза больше, а радиус основания в два раза меньше, то есть можем записать:

Подставим значения высоты и радиуса в формулу (1) и получим объём второго цилиндра выраженный через высоту и радиус первого:

Получили, что объём второго цилиндра равен 0,75 объёма первого. Таким образом:

Ответ: 9

*Примечание! Есть ещё путь рассуждения для решения данной задачи. Посмотрите, высота второго цилиндра в три раза  больше — это значит, что если мы так увеличим высоту, то объём второго цилиндра станет 36 м3. Затем при уменьшении радиуса основания этого цилиндра в два раза мы получим (0,5R)2=0,25R2. То есть произойдёт уменьшение в 4 раза и объём получится 36:4=9 м3. По-сути, решение задачи укладывается в одну строчку V2=12∙3∙0,25=9.

Первая цилиндрическая кружка в пять раз выше второй, зато вторая в два раза шире. Найдите отношение объема второй кружки к объему первой.

Нам необходимо найти отношение объёмов. Обозначим радиус основания  2-й кружки как  R2, а высоту  как Н2.  Тогда  её объем будет равен:

Объём первой  кружки соответственно:

Сказано, что первая кружка в пять раз выше второй, а вторая в два раза шире, то есть можем записать:

Выразим R1 и запишем формулу объёма для первой кружки:

Таким образом, отношение объема второй кружки к объему первой будет равно:

Ответ: 0,8

*Примечание! Решение можно записать кратко в таком виде:

Пояснение: взяли первый цилиндр, уменьшили его высоту в пять раз, а радиус увеличили в два раза (учитываем квадрат радиуса) и получили зависимость объёмов. Далее просто выразили отношение. 

 

27118. Одна цилиндрическая кружка вдвое выше второй, зато вторая в полтора раза шире. Найдите отношение объема второй кружки к объему первой. 

Посмотреть решение

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.


Подготовка к ОГЭ по математике. Полный курс!

Школа репетиторов Анны Малковой. Супер тренинг!

Онлайн-обучение, подготовка к ЕГЭ и ОГЭ по предметам!

50 базовых упражнений лечебной физкультуры!

Отзывов (4)
  1. Олег

    В основной формуле объёма цилиндра (выделена жёлтым цветом) допущена ошибка... R^2 ...

    • Александр Крутицких

      Олег, спасибо, поправил.

      • Сергей

        Если я не ошибаюсь, то в решении 2 задачи опечатка, в строчке : «„Сказано, что первая кружка вдвое выше второй, а вторая в два раза шире, то есть можем записать:“»

        • Александр Крутицких

          Сергей, спасибо, поправил.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

*