Пять задач с векторами!

    Задачи с векторами на ЕГЭ. Дорогие друзья! Вы знаете, что в состав экзамена по математике входят такие задания. Не факт, что такая задача попадёт именно вам, но готовиться к этому и понимать тему в любом случае нужно. На блоге мы уже рассмотрели несколько задач на сумму (разность) векторов, длину вектора, в этой же статье есть необходимая теория. Посмотрите её, прежде чем рассматривать задачи представленные ниже.

Также загляните в справочник на блоге. Если нужно вспомнить, что такое абсцисса и ордината точки, тогда посмотрите эту статью. Кратко повторим:

Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат его конца вычесть соответствующие координаты начала:

Формула для определения длины вектора, если известны координаты его начала и конца:

Формула для определения длины вектора, если известны его координаты:

27725. Вектор АВ с началом в точке A(2;4) имеет координаты (6;2). Найдите ординату точки B.

Как уже сказано координаты вектора находятся следующим образом: из соответствующих координат конца вычитаются координаты начала вектора. То есть:

Координаты вектора нам даны, координаты его начала тоже, значит:

Следовательно можем найти координаты точки В:

х₂ – 2 = 6         у₂ – 4 = 2

х₂  = 8             у₂  = 6

Таким образом, ордината точки В равна 6.

Ответ: 6

27726. Вектор АВ с началом в точке A(3;6) имеет координаты (9;3). Найдите сумму координат точки B. 

Задача по процессу решения такая же как и предыдущая, но иначе поставлен вопрос. Вычисления так же находятся в пределах устного счёта. Ещё раз запишем координаты вектора, когда известны координаты его начала и конца:

Координаты вектора и координаты его начала даны, значит:

Можем найти координаты точки В:

х₂ – 3 = 9         у₂ – 6 = 3

х₂  = 12             у₂  = 9

Таким образом, сумма координат точки В равна 21.

Ответ: 21

27727. Вектор АВ с концом в точке B (5;3) имеет координаты (3;1). Найдите абсциссу и ординату точки A, также сумму её координат. 

Нам известны  координаты вектора и координаты его конца, значит:

Можем найти координаты точки А:

5 – х₁  = 3        3 – у₁  = 1

х₁  = 2             у₁  = 2

Таким образом, абсцисса точки А равна двум,  ордината тоже равна двум, а сумма координат равна  2+2 = 4.

Ответ: 4

27731 Найдите квадрат длинны вектора a+b.

В данной задаче необходимо найти координаты вектора, который является суммой указанных векторов, затем найти его длину и возвести её в квадрат. Запишем формулу длины вектора, если известны его координаты:

Или в другой форме:

Найдём координаты вектора, который является суммой данных векторов. Для этого сначала найдём координаты данных векторов. 

Рассмотрим вектор:

Рассмотрим вектор:

*Можно было глядя на эскиз сразу их записать, так как точки их начал совпадают с началом координат.

Теперь найдём координаты вектора являющегося их суммой:

(2 + 8; 6 + 4) = (10;10)

Таким образом, длина  вектора являющегося суммой векторов a и b равна:

Следовательно квадрат длины будет равен 200.

*Имея опыт в решении подобных задач, можно сразу записывать:

Как видите, вычисления можно осуществить устно. Здесь для вас умышленно представлено подробное решение.

Ответ: 200

27733. Найдите квадрат длины вектора a – b.

Задача аналогична предыдущей. Необходимо найти координаты вектора, который является разностью представленных векторов, затем найти его длину и результат возвести в квадрат.

Координаты данных векторов нам уже известны (из предыдущей задачи):

Теперь найдём координаты вектора, который является их разностью: 

(2 – 8; 6 – 4) = (–6;2)

Таким образом, длина  вектора, который является разностью векторов

Следовательно квадрат её длины будет равен 40.

*Можно сразу записывать и вычислять:

Ответ: 40

27723. Найдите сумму координат вектора АВ.

Посмотреть решение

27724.Вектор АВ с началом А(2;4) имеет координаты (6;2) Найдите абсциссу точки В.

Посмотреть решение

27730. Найдите сумму координат вектора а + b.

Посмотреть решение

27732. Найдите сумму координат вектора а–b.

Посмотреть решение

27736. Найдите сумму координат вектора а + b

Посмотреть решение

27739. Найдите квадрат длины вектора а–b.

Посмотреть решение

Вы убедились, что задачи с векторами на ЕГЭ это одни из самых простых заданий. Есть, конечно, задания со скалярным произведением векторов, но о они сложности не представляют, нужно лишь знать формулу скалярного произведения. Такие задачи мы также рассмотрим, не пропустите!

На этом всё. Если что-то непонятно, пишите. Успеха Вам!

С уважением, Александр Крутицких

Уроки сделаны... Мама охрипла... Сын оглох ... Соседи выучили всё наизусть, собака пересказала!!!..

P.S: Делитесь  этой статьёй в сетях.