Реальный вариант ЕГЭ по математике 2016 года. Профильный уровень. Для вас представлено подробное решение полного варианта экзаменационной работы. В конце статьи вы можете скачать материал — это изложенное ниже решение в формате WORD, PDF и отдельный файл с условиями задач (без решения). Вы готовитесь к ЕГЭ? Тогда попробуйте сначала решить задания, проверьте свои силы. Учителям и репетиторам можно использовать файлы в своей в работе.
Что можно сказать в общих чертах: задачи с кратким ответом без особых сложностей и с минимальным объёмом вычислений. При средней подготовке их можно решить практически минут за 20-30, а остальное время посвятить задачам 13-19. Итак: Реальный вариант ЕГЭ 2016.
1. В квартире установлен прибор учёта расхода холодной воды (счётчик). Показания счётчика 1 сентября составляли 103 куб. м воды, а 1 октября — 114 куб. м. Сколько нужно заплатить за холодную воду за сентябрь, если стоимость 1 куб. м холодной воды составляет 19 руб. 20 коп.? Ответ дайте в рублях.
Расход воды за сентябрь месяц составил 114 – 103 = 11 кубических метров.
Нужно заплатить 11∙19,2 = 211,2 рубля.
Ответ: 211,2
2. На диаграмме показано количество посетителей сайта РИА Новости во все дни с 10 по 29 ноября 2009 года. По горизонтали указываются дни месяца, по вертикали — количество посетителей сайта за данный день. Определите по диаграмме, во сколько раз наибольшее количество посетителей больше, чем наименьшее количество посетителей за день.
Количество посетителей было наибольшим 12-го числа и составило 800000 человек, количество посетителей было наименьшим 15-го числа и составило 400000 человек. Наибольшее количество посетителей больше, чем наименьшее количество посетителей за день в 2 раза (800000/400000=2).
Ответ: 2
3. Найдите площадь треугольника, изображенного на рисунке.
Используем формулу площади треугольника: она равна половине произведения основания и высоты на неё опущенной. Основание равно 3–1=2, высота равна 9–7=2. Площадь:
Ответ: 2
4. В соревнованиях по толканию ядра участвуют 8 спортсменов из Великобритании, 6 спортсменов из Франции, 5 спортсменов из Германии и 5 — из Италии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий последним, окажется из Франции.
Число всех спортсменов 24, благоприятных исходов 6 (число спортсменов из Франции). Любой из них может быть последним. Вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Франции равна 6 к 24 или 6/24=0,25
Ответ: 0,25
5. Найдите корень уравнения:
Проверка:
Верно!
Ответ: 2
6. В четырехугольник ABCD, периметр которого равен 48 вписана окружность, АВ=15. Найдите CD.
Свойcтво сторон четырёхугольника в который вписана окружность: суммы противолежащих сторон четырёхугольника, в который вписана окружность равны, то есть AB+DC=AD+BC.
Значит AB+CD=AD+BC=24. Следовательно CD=24–15=9.
Ответ: 9
7. На рисунке изображен график у=f′(x) — производной функции f (x), определенной на интервале (–10;2). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f (x) параллельна прямой у= –2х–11 или совпадает с ней.
Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Так как касательная параллельна прямой у= –2х–11 или совпадает с ней, их угловые коэффициенты будут равны –2.
Значит необходимо найти количество точек, в которых у′(х0)= –2. Геометрически это соответствует количеству точек пересечения графика производной с прямой у=–2.
На данном интервале таких точек 5.
Ответ: 5
8. Площадь боковой поверхности треугольной призмы равна 24. Через среднюю линию основания призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы.
Сказано, что плоскость проходит через среднюю линию основания, то есть через точки, которые являются серединами соседних сторон треугольника. При чём она проходит параллельно боковому ребру – это означает, что указанная плоскость также проходит через середины соответствующих соседних сторон другого основания.
Без каких-либо вычислений понятно, что площадь боковой поверхности отсечённой призмы будет в два раза меньше, чем у исходной.
Посмотрите!
Высота у призм общая. Указанная плоскость разрезает две соседние боковые грани пополам.
Рассмотрим третью грань (параллельную плоскости сечения) – её площадь поверхности также в два раза меньше, так как средняя линия треугольника в два раза меньше параллельной ей стороны треугольника.
Учитывая, что высота остаётся неизменной (общая для обеих призм), можем сделать вывод, что площадь боковой поверхности (сумма площадей всех трёх граней) отсечённой призмы будет в два раза меньше.
Ответ: 12
9. Найдите значение выражения
Решение:
Ответ: 0
10. Груз массой 0,08 кг колеблется на пружине со скоростью, меняющейся по закону:
Где t – время с начала колебаний, Т=16 — период колебаний, v0=0,5м/с.
Кинетическая энергия груза, измеряемая в джоулях, вычисляется по формуле:
где m — масса груза (в кг), v — скорость груза (в м/с). Найдите кинетическую энергию груза через 10 секунд после начала движения. Ответ дайте в Джоулях.
Подставляем данные и решаем:
Ответ: 0,05
11. Шесть одинаковых рубашек дешевле куртки на 2%. На сколько процентов девять таких же рубашек дороже куртки?
Пусть стоимость рубашки равна х, стоимость куртки обозначим у.
*За сто процентов берем ту величину, с которой сравниваем, то есть цену куртки. Тогда стоимость шести рубашек составляет 98% от цены куртки, можем записать:
Логично, что стоимость одной будет в 6 раз меньше:
Тогда стоимость девяти рубашек будет равна:
На данном этапе уже можно сделать вывод о том, что 9 рубашек дороже куртки на 47 процентов. *Но можно и разложить правую часть:
Ответ: 47
12. Найдите точку минимума функции у=2х–ln (х+8)2
Сразу отметим, что по свойству логарифма х+8>0, то есть х>–8. Рассматривать функцию будем на интервале (–8;+∞).
Найдём производную заданной функции:
Найдем нули производной:
Определим знаки производной функции на интервалах подставляя любые значения из них в найденную производную и изобразим на рисунке поведение функции:
В точке х=–7 функция меняет знак с отрицательного на положительный, значит это искомая точка минимума.
Ответ: –7
13. a) Решите уравнение
б) Укажите корни этого уравнения принадлежащие отрезку [Пи/2;2Пи].
а) Сразу отметим, что выражение стоящее под знаком логарифма по его определению будет больше нуля, то есть:
И интервал поиска корней теперь будет:
Решаем уравнение. Не трудно заметить, что перед нами квадратное уравнение. Произведём замену
Получим:
Получаем, что
У первого уравнения решения нет, так значения функции лежат в пределах от –1 до Второе уравнение имеет решение:
Без построения эскиза видно, что отрезку [Пи/2;Пи] принадлежит только один корень:
*Можно изобразить корни на тригонометрической окружности:
14. В правильной треугольной призме АВСА1В1 С1 сторона основания АВ равна 6, а боковое ребро АА1 равно 3. На ребре В1С1 отмечена точка L так, что B1L=1. Точки К и М – середины ребер АВ и А1С1 соответственно. Плоскость γ параллельна прямой АС и содержит точки К и L.
а) Докажите, что прямая ВМ перпендикулярна плоскости γ
б) Найдите объем пирамиды, вершина которой – точка М, а основание – сечение данной призмы плоскостью γ.
Выполним построения: строим призму, отмечаем точки К и М, также отмечаем точку L (1/6 часть от вершины). Сечение строится следующим образом: так как плоскость параллельна АС, то отмечаем на середине ребра ВС точку Q. Строим прямую параллельную А1С1, на ребре А1В1 получится точка, от которой до вершины В1 будет также 1. Точку эту обозначим буквой N. Получается, что указанная плоскость проходя через призму образует сечение KNLQ в форме равнобедренной трапеции.
Кроме этого опустим из точки М перпендикуляр к нижнему основанию и соединим её с точкой В. Построим прямую ВМ и отметим точку её пересечения с плоскостью γ, обозначим её Т. Проведём прямую МВ1 и обозначим точки F, H, G.
а) Сечение EMB1B есть прямоугольник, который делит призму на две равные, и перпендикулярно плоскости γ. Вынесем его отдельно:
Для того, чтобы доказать перпендикулярность прямой ВМ к указанной плоскости нам необходимо установить что ∠МТН=900.
Какие углы мы можем вычислить? Это ∠МВЕ и ∠HFQ.
Рассмотрим треугольник ЕМВ и вычислим ЕВ. В треугольнике ЕСВ:
Можем вычислить:
Рассмотрим треугольник HFQ:
HQ это высота призмы, она равна трём. Можем ли найти FQ? Конечно!
NL отсекает от В1М одну шестую, так как NL||А1С1, треугольники LB1H и C1B1M подобны и
Значит
Получается
Вычисляем:
Получили, что в треугольнике FTB:
Очевидно, что ∠FTB=900. Значит прямая ВМ перпендикулярна заданной плоскости.
б) Объём пирамиды равен одной трети произведения её основания и высоты:
Вычисляем высоту пирамиды:
Основание пирамиды это равнобедренная трапеция. Её основания: NL=1, так треугольник NLB равносторонний; KQ=3, так как это средняя линия треугольника лежащего в основании, она равна половине параллельной ей стороне. Высота трапеции равна:
Вычисляем:
Ответ: а) доказано б) 5√3
15. Решите неравенство:
Область допустимых значений (ОДЗ):
Решаем:
*Сгруппировали выражения в числителе так чтобы получилось выражения содержащие знаменатель.
Далее делим числитель на знаменатель:
Произведём замену 7х=t>0:
Решая методом интервалов получим:
Следовательно:
Единицу и пятёрку представим в виде степени числа 7:
C учётом ОДЗ записываем ответ.
Ответ: (–∞;0] U (log75;1)
16. В трапеции ABCD боковая сторона АВ перпендикулярна основаниям. Из точки А на сторону CD опустили перпендикуляр АН. На стороне АВ отмечена точка Е так, что прямые CD и СЕ перпендикулярны.
а) Докажите, что прямые ВН и ЕD параллельны.
б) Найдите отношение ВН:ED, если угол BCD=1350
Построим чертёж:
а) Чтобы доказать параллельность указанных прямых нам необходимо поработать с углами. А именно, рассмотреть углы при прямых BH, ED и секущей СЕ (либо АН).
Чтобы немного упростить восприятие обозначим углы и отметим их на эскизе:
*Отметим, что угол HAD также равен α. А угол СОН равен α+β по теореме о внешнем угле треугольника.
Рассмотрим четырёхугольник ABCH. Давайте вспомним одно свойство четырёхугольника вписанного в окружность: сумма противоположных углов четырёхугольника вписанного в окружность равна 1800.
Мы имеем четырёхугольник ABCH, в котором углы ABC и CHА прямые, то есть их сумма равна 1800. Значит можем описать окружность:
Теперь рассмотрим вписанные углы СВН и САН. Они равны, так как построены на одной хорде СН (отметим на эскизе).
Рассмотрим четырёхугольник AECD. В нём также имеются два прямых угла BAD и BCD. Значит около него можем описать окружность.
Теперь рассмотрим вписанные углы СAD и СED. Они равны, так как построены на одной хорде СD (отметим их на эскизе):
То есть мы получили, что соответственные углы при прямых ВН и ED и секущей СЕ равны α+β. Это означает что ВН и ED параллельны. Что и требовалось доказать.
*Примечание! Если в условии имеется трапеция или четырёхугольники, и есть возможность описать окружность (или она уже описана), то используемое свойство вписанного угла очень может выручить.
б) Построим трапецию с соблюдением угла BCD равного 1350 (можно построить её на листе в клетку), также проведём прямую EF параллельную основаниям:
Треугольники BCH и EFD подобные, так как их соответственные углы равны. *Очень часто использование подобия треугольников очень помогает, когда речь идёт об отношении сторон (отрезков).
Примем ВС=1 (можно выбрать любую величину, на отношении это не отражается). Мы легко сможем найти EF и вычислить коэффициент подобия:
Получается, что коэффициент подобия равен:
Таким образом:
Ответ: а) Доказано б) 1:2
17. 15-го января планируется взять кредит в банке на сумму 1 млн рублей на 6 месяцев. Условия возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на целое число r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца; 5 – со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплачивать часть долга;
– 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей:
Найдите наименьшее значение r, при котором общая сумма выплат будет составлять более 1,25 млн рублей.
Решение:
15.02. долг, после действия процентной ставки r, составит
Заемщик отдает банку
и на счету остается 9/10 млн.рублей.
15.03. Долг, после действия процентной ставки r, составит
Заемщик отдает банку
и на счету остается 8/10 млн.рублей.
15.04. Долг, после действия процентной ставки r, составит
Заемщик отдает банку
и на счету остается 7/10 млн.рублей.
15.05. Долг, после действия процентной ставки r, составит
Заемщик отдает банку
и на счету остается 6/10 млн.рублей.
15.06. Долг, после действия процентной ставки r, составит
Заемщик отдает банку
и на счету остается 5/10 млн.рублей.
15.07. Долг, после действия процентной ставки r, составит
Заемщик отдает банку
и долг будет погашен.
Все выплаты составят:
По условию общая сумма выплат составляет более 1,25 млн. руб. Решаем неравенство:
По условию нужно найти наименьшее целое r. Значит ответ будет 6.
Ответ: 6
18. Определите, при каких значениях параметра уравнение:
имеет ровно два различных решения.
*Понятно, что m>0. Функция у=√2х–a возрастает. Это значит, что каждому значению m будет соответствовать единственное значение х. Запишем уравнение:
Известно, что квадратное уравнение имеет два корня при положительном дискриминанте, то есть должно выполняться условие (1):
Кроме этого корни должны быть положительны (2), так как m > 0. То есть:
Первое неравенство будет иметь решение при положительном подкоренном выражении, мы его уже вычислили a < 2,25. Второе неравенство:
Получили, что необходимые условия (1 и 2) выполняются при 2<a<2,25.
Ответ: a∈(2;2,25)
19. На доске написаны числа 1, 2, 3, ..., 30. За один ход разрешается стереть произвольные три числа, сумма которых меньше 35 и отлична от каждой из сумм троек чисел, стёртых на предыдущих ходах.
а) Приведите пример последовательности в 5 ходов.
б) Можно ли сделать 10 ходов?
в) Какое наибольшее число ходов можно сделать?
а) Пример:
(1;10;11) сумма 22
(2;9;12) сумма 23
(3;8;13) сумма 24
(4;7;14) сумма 25
(5;6;15) сумма 26
б) Допустим 10 ходов возможны. Так как сумма чисел в каждой тройке у нас должна быть меньше 35, то сумма всех получившихся чисел пи суммировании троек у нас должна быть меньше 350. С другой стороны: так как в 10 ходах используются все 30 чисел, то их сумма получается 1+2+3+ ….+30=465. Противоречие!
Таким образом, 10 ходов невозможны.
в) Проверим возможны ли 6 ходов:
Проверим возможны ли 7 ходов:
При данных тройках 7 ходов невозможны. Может есть другие варианты? Проанализируем: сумма чисел входящих в 7 троек должна быть меньше 35+34+33+32+31+30+29, то есть меньше 224. Во взятые 7 троек не входят 9 чисел. Даже если это числа 30,29,28,27,26,25,24,23,22, то сумма чисел семи троек и чисел 30,29,28,2,26,25,24,23,22 получается меньше 224+234=458 (должна быть 465).
Ответ: а) (1;10;11) (2;9;12) (3;8;13) (4;7;14) (5;6;15)
б) нет
в) 6
Скачать вариант решения
Учитесь с удовольствием.
С уважением, Александр.
Александр, здравствуйте! Спасибо Вам !Для учителя Вы предлагаете много полезного материала на сайте. Валентина Ивановна.
Валентина, спасибо!
Здравствуйте, Огромное спасибо за Ваши материалы!!! Очень помогают в работе. Давно пользуюсь ими при подготовке к ЕГЭ. Но вот вариант решения ЕГЭ 2016 не могу скачать. В чем проблема не знаю. Еще раз спасибо за Ваш труд.
Альбина, выслал на почту )
Спасибо за материалы,помогут в работе с учениками! Если можно, вышлите на почту и мне