Здравствуете, Дорогие друзья! В этой статье мы разберём очередной пример, где требуется решить тригонометрическое уравнение и найти корни принадлежащие заданному отрезку. Способов определения корней, которые принадлежат отрезку несколько.
Кому-то понятнее определять их по тригонометрической окружности, кому-то используя числовую ось. Здесь представлено два алгебраических способа. Каждый из них уже рассматрен отдельно: один в этой статье, другой здесь. Эти способы позволяют найти корни посредством алгебраических вычислений (без построения тригонометрической окружности или числовой оси).
Тригонометрические уравнения, которые будут на ЕГЭ по математике, не требуют ни каких "глубоких" умений в их преобразовании, достаточно знать основные формулы и иметь навык их использования.
Ещё раз отмчу, что для решения подобных заданий необходимо в совершенстве владеть методикой решения простейших тригонометрических уравнений; знать табличные значения тригонометрических функций углов от 0 до 90 градусов; знать формулы приведения; уметь проводить преобразования, используя тригонометрические формулы; переводить радианы в градусы и обратно.
Дано уравнение:
а) Решите уравнение.
б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку.
Решение:
а) Преобразуем уравнение (и левую и правую часть по формуле косинуса двойного аргумента):
Произведём замену переменной: пусть cos x = t.
Получили квадратное уравнение 2t2 + t – 1 = 0.
Решим его, получим простейшие тригонометрические уравнения:
Изобразим корни на тригонометрической окружности:
б) Первый способ:
Переведём радианы в градусы. Так как Пи радиан это 180 градусов, то отрезок
в градусах будет выглядеть следующим образом: [– 2700; 5400].
Определим корни. Суть подхода: берём произвольные коэффициенты k и подставляем в каждый из корней, далее вычисляем и смотрим – принадлежат ли полученные корни заданному интервалу. Если принадлежат, то отмечаем их как верный ответ.
Ещё раз запишем все полученные (в пункте а) корни:
При k = 0:
При k = 1:
При k = 2:
При k = – 1:
При k = – 2:
Таким образом, отрезку [– 2700; 5400] принадлежат корни:
– 1800; – 600; 600; 1800; 3000; 4200 и 5400
в радианах это
Вопрос: какие «произвольные» коэффициенты k брать?
В пределах от –3 до 3, так как границы заданного интервала в подобных типовых заданиях ЕГЭ обычно лежат «недалеко» от нуля.
Данный способ совершенным назвать нельзя. Но он, безусловно, позволяет находить верное решение. Важно перебрать необходимые значения k и убедиться, что получены все корни принадлежащие данному отрезку.
Для чего углы мы переводили из радианной меры в градусную?
Многим наиболее «понятна» работа с углами в градусной мере.
Второй способ:
Суть его заключается в следующем:
1. Берём один из корней.
2. Составляем неравенство (корень принадлежит указанному интервалу).
3. Решаем это неравенство.
4. Находим коэффициент(ы) k
5. Подставляем найденный коэффициент(ты) обратно в этот корень, и затем вычисляем.
И так поступаем с каждым корнем (полученным в пункте а).
Первый корень:
Решаем неравенство:
Так как число k целое, то значит k1 = 0 k2 = 1
Вычисляем корни, принадлежащие интервалу:
Следующий корень:
Решаем неравенство:
Так как число k целое, то значит k1 = 0 k2 = 1
Вычисляем корни, принадлежащие интервалу:
Следующий корень:
Решаем неравенство:
Так как число k целое, то значит k1 = – 1, k2 = 0, k3 = 1
Вычисляем корни принадлежащие интервалу:
Всего получили семь корней:
Ответ:
