Продолжаем рассматривать задания с кубами и параллелепипедами. Основные формулы можно посмотреть в начале этой статьи. Представленные ниже задачи связаны с изменением объёма и площади поверхности при увеличении (уменьшении) ребра.
В одной из задач используется понятие равновеликости. Что это означает? Равновеликие тела это тела имеющие равный объём. Например, если сказано, что шар равновелик кубу – это означает, что шар и куб имеют равный объём. Рассмотрим задачи:
Если каждое ребро куба увеличить на 9, то его площадь поверхности увеличится на 594. Найдите ребро куба.
Так как существует зависимость площади поверхности куба от его ребра, то, конечно же, воспользуемся формулой площади поверхности куба:
Сказано, что при увеличении ребра на 9 площадь поверхности увеличивается на 594. Запишем формулу площади поверхности для увеличенного куба:
Ребро куба равно 1.
Ответ: 1
Три ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 4, 16, 27. Найдите ребро равновеликого ему куба.
Равновеликий куб – это куб, объём которого равен объёму параллелепипеда. Известно, что объём куба находится по формуле:
Значит если мы найдём объём параллелепипеда, то сможем найти ребро куба. Объём параллелепипеда равен:
Таким образом:
*Как извлечь корень третьей степени из большого числа можно посмотреть здесь.
Ответ: 12
Во сколько раз увеличится объем куба, если его ребра увеличить в шесть раз?
Объем куба с ребром a равен V1 = a3.
Объем куба с ребром в шесть раз большим равен V2 = (6a)3.
Разделим V2 на V1 и получим искомую величину:
Объём куба увеличится в 216 раз.
Ответ: 216
Если каждое ребро куба увеличить на 3, то его объем увеличится на 819. Найдите ребро куба.
Пусть ребро куба равно a.
Запишем чему равен объём для исходного куба и для увеличенного:
Объем куба с ребром a равен V1 = a3.
Объем куба с ребром a + 3 равен V2 = (a + 3)3.
Сказано, что объём увеличился на 819, значит:
Решим уравнение:
Подходящее значение a = 8. Отрицательное значение для данной задачи не имеет физического смысла. Таким образом, ребро куба равно 8.
Ответ: 8
Во сколько раз увеличится площадь поверхности куба, если его ребро увеличить в 24 раза?
Запишем формулу площади поверхности исходного куба и формулу площади поверхности для куба с увеличенным ребром:
Теперь остаётся только лишь найти отношение площадей:
Таким образом, площадь поверхности увеличится в 576 раз.
Ответ: 576
Объем одного куба в 729 раз больше объема другого куба. Во сколько раз площадь поверхности первого куба больше площади поверхности второго куба?
Отметим, что первый куб это больший куб, второй это меньший куб. Мы без труда решим эту задачу, если определим во сколько раз ребро первого куба больше ребра второго. Пусть ребро малого (второго) куба равно х, а большего у. Тогда
По условию:
Значит
Получили, что ребро первого куба большего ребра второго в 9 раз, то есть
Теперь запишем площадь поверхности для обоих кубов:
Остаётся найти отношение площадей поверхностей кубов:
Площадь поверхности первого куба больше площади поверхности второго куба в 81 раз.
Ответ: 81
27061. Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его площадь поверхности увеличится на 54. Найдите ребро куба.
27080. Три ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 4, 6, 9. Найдите ребро равновеликого ему куба.
27081. Во сколько раз увеличится объем куба, если его ребра увеличить в три раза?
27102. Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его объем увеличится на 19. Найдите ребро куба.
27168. Объем одного куба в 8 раз больше объема другого куба. Во сколько раз площадь поверхности первого куба больше площади поверхности второго куба?
Есть ещё отличный подход для решения задач, в которых где речь идёт о изменении объёма и площади поверхности для таких тел как: куб, параллелепипед, шар, правильная четырёхугольная пирамида, конус, цилиндр, при увеличении (уменьшении) ребра (радиуса) в некоторое количество раз. Такие задания практически можно решать в одну строчку. Об этом расскажу в будущем, не пропустите!
Всего доброго! Успеха Вам!
С уважением, Александр.
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
