Боковая сторона равнобедренного треугольника

   Здравствуйте! В состав ЕГЭ входит группа заданий, при решении которых используются формулы площадей параллелограмма и площадей треугольника. Мы их подробно рассмотрели в прошлой статье «Площадь треугольника. Шесть формул!». Задачи простенькие, необходимо знать указанные формулы и уметь производить элементарные алгебраические преобразования. Рассмотрим задания:

Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 30⁰. Боковая сторона треугольника равна 5. Найдите площадь этого треугольника. 

Известен угол С, он равен 30 градусам. Известны стороны АС и ВС, они равны 5.

*Известно, что в равнобедренном треугольнике боковые стороны равны.

Используем формулу для нахождения площади:

*Площадь треугольника равна половине произведения двух соседних сторон на синус угла между ними.

В данном случае:

Ответ: 6,25

Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 150⁰. Боковая сторона треугольника равна 24. Найдите площадь этого треугольника.

От предыдущей задачи эта отличается тем, что угол при её вершине тупой. Используем ту же формулу для нахождения площади треугольника:

В данном случае:

*Не забывайте тот факт, что синусы смежных углов равны. Формулы приведения можно посмотреть здесь.

Значит

Ответ: 144

Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 40 и 20, а угол между ними равен 30⁰.

Известны две стороны и угол между ними. Используем формулу для нахождения площади:

В данном случае:

Ответ: 200

Площадь треугольника ABC равна 176. DE — средняя линия. Найдите площадь треугольника CDE.

Вспомним, что такое средняя линия в треугольнике, и что нам это даёт. Средняя линия в треугольнике – это отрезок соединяющий середины соседних сторон, она параллельна третьей стороне.

Что ещё известно о ней? 

Средняя линия треугольника равна половине параллельного ему основания, то есть:

Так же можно добавить, что она делит высоту, проведённую к основанию параллельному ей, на два равных отрезка.

Используем формулу:

Площадь треугольника равна половине произведения основания и высоты опущенной на это основание.

В данном случае:

Если мы выразим площадь треугольника DCE относительно АВ и h_АВ, то далее без труда вычислим площадь искомого треугольника через отношение площадей.

Выразим площадь треугольника DCE.

Высота  треугольника DCE  в 2 раза меньше высоты треугольника ABC, значит она равна:

Как уже сказано, средняя линия в треугольнике равна половине стороны ей параллельной, значит:

Таким образом:

*Нам  не нужно находить ни длины оснований треугольников, ни высоты.

Вычислим, чему равно отношение площадей треугольников:

То есть площадь треугольника DCE меньше площади треугольника ABC в 4 раза. Таким образом:

*Данный путь решения, конечно, рациональным не является. Просто показано, как такая задача решается с использованием формулы площади и знания свойств средней линии треугольника.

Задача решается устно. Достаточно вспомнить формулу для отношения площадей подобных фигур, информация об этом на сайте имеется. Коэффициент пропорциональности в данном случае равен 0,5. Поэтому решение будет выглядеть следующим образом:

Ответ: 44

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 87, а основание равно 126. Найдите площадь этого треугольника.

Известны три стороны, можно воспользоваться формулой Герона:

р – где это полупериметр.

Вычислим его:

Находим площадь:

*Второй вариант.

Основание известно. Построив высоту опущенную на основание, можно найти её из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора и далее воспользоваться формулой площади.

Ответ: 3780

Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 30⁰. Найдите боковую сторону треугольника, если его площадь равна 1444. 

Угол С равен 30 градусам. Площадь равна 1444.

Используем формулу площади треугольника:

Треугольник равнобедренный, это значит, что его боковые стороны равны, то есть АС = СВ, значит:

Боковая сторона треугольника равна 76.

*Как извлекать квадратный  корень из большого числа без калькулятора можно посмотреть здесь.

Ответ: 76

Площадь остроугольного треугольника равна 90. Две его стороны равны 20 и 18. Найдите угол между этими сторонами. Ответ дайте в градусах.

Нам известна площадь треугольника, и две его стороны. Угол между этими сторонами можем найти использовав формулу площади треугольника:

Выразим sin γ:

Таким образом:

Есть два угла, синус которых равен 0,5. Это угол 30 и 150 градусов. Поэтому будьте предельно внимательны при прочтении условия. В данном случае сказано, что треугольник остроугольный, следовательно ответ будет 30⁰.

*Если бы  условии было сказано, что дан тупоугольный треугольник, то ответ был бы 150⁰.

Ответ: 30

Следующие три задачи для вас не представит труда решить:

27587. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катеты равны 5 и 8. Ответ: 20.

25588. Площадь прямоугольного треугольника равна 16. Один из его катетов равен 4. Найдите другой катет. Ответ: 8

27617. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 6 и 10. Ответ: 24.

Ещё для самостоятельного решения:

27589. Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 30⁰. Боковая сторона треугольника равна 10. Найдите площадь этого треугольника. 

Посмотреть решение

27590. Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 150⁰. Боковая сторона треугольника равна 20. Найдите площадь этого треугольника.

Посмотреть решение

27591. Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 8 и 12, а угол между ними равен 30⁰.

Посмотреть решение

27592. Площадь треугольника ABC равна 4. DE — средняя линия. Найдите площадь треугольника CDE.

Посмотреть решение

27619. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 5, а основание равно 6. Найдите площадь этого треугольника.

Посмотреть решение

27620. Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 30⁰. Найдите боковую сторону треугольника, если его площадь равна 25. 

Посмотреть решение

27622. Площадь остроугольного треугольника равна 12. Две его стороны равны 6 и 8. Найдите угол между этими сторонами. Ответ дайте в градусах.

Посмотреть решение

*По поводу данной задачи хочу сказать вам следующее. Условие составлено некорректно, имеется ошибка. Дело в том, что треугольник с такими характеристиками не может быть остроугольным. Оба варианта такого треугольника и при 30 и при 150 градусах между данными сторонами будут тупоугольными. При 150⁰ понятно почему, а при 30⁰... 

Вы легко убедитесь построив такой треугольник соблюдая размерность сторон и угла между ними и увидите это визуально. Также это можно доказать вычислениями. Я предполагаю, что во всех аналогичных заданиях  имеется подобная ошибка. Совет простой: если в условии сказано, что треугольник остроугольный, то в ответе записывайте острый угол; если будет сказано, что он тупоугольный, то в записывайте тупой угол.

На данный момент этот тип задач исключен из открытого банка заданий ЕГЭ, возможно, именно из-за этой некорректности. На сайте РЕШУЕГЭ Дмитрия Гущина на момент написания этой статьи это задание есть. Возможно и на ЕГЭ такая  задача будет.

Приведу пример корректного условия задачи:

Площадь остроугольного треугольника равна 14. Две его стороны равны 7 и 8. Найдите угол между этими сторонами. Ответ дайте в градусах.

На этом всё! Успеха вам, дерзайте и всё будет!

С уважением, Александр Крутицких

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.