Четырёхугольник вписан в окружность (задачи). Продолжаем рассматривать задания входящие в состав ЕГЭ по математике. В этой статье мы решим несколько задач с использованием свойств вписанного угла. Теория была подробно уже изложена, обязательно посмотрите. В указанной статье решение заданий по сути сводилось к применению свойства вписанного угла сразу же, то есть это были задания практически в одно действие. Здесь нужно чуть подумать, ход решения не всегда с ходу очевиден.
Применяются: теорема о сумме углов треугольника, свойства вписанного угла, свойство четырёхугольника вписанного в окружность. О последнем подробнее.
*Это свойство было уже представлено, но в другой интерпретации. Итак:
Свойства:
Вписанный четырехугольник — это четырехугольник, все вершины которого лежат на одной окружности.
Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов равны 180 градусам.
То есть, если мы такой четырёхугольник, то сумма его противоположных углов равна 180 градусам.
Рассмотрим задачи:
27870. В окружности с центром O AC и BD — диаметры. Центральный угол AOD равен 1100. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.
Треугольник BОC равнобедренный, так как ОС=ОВ (это радиусы). Известно, что сумма углов треугольника равна 180 градусам. Рассмотрим ∠BOC и ∠AOD:
Следовательно
Углы при основании равнобедренного треугольника равны, то есть
Другой способ:
Угол АОВ является центральным углом для вписанного угла АСВ. По свойству вписанного в окружность угла
Сумма смежных углов равна 1800, значит
Таким образом
Ответ: 35
27871. Угол А четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 580. Найдите угол C этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.
Здесь достаточно вспомнить свойство такого четырёхугольника. Известно, что сумма его противоположных углов такого равна 180 градусам, значит угол С будет равен
Второй способ:
Построим ОВ и OD.
По свойству вписанного угла градусная величина дуги BCD равна
2∙580 = 1160
Следовательно градусная величина дуги BAD будет равна
3600 – 1160 = 2440
По свойству вписанного угла угол С будет в два раза меньше, то есть 1220.
Ответ: 122
27872. Стороны четырехугольника ABCD AB, BC, CD и AD стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно 950, 490, 710, 1450. Найдите угол B этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.
Построим радиусы АО, OD, OC:
Градусная величина дуги AD равна 1450, градусная величина дуги СD равна 710, значит градусная величина дуги АDС равна 1450 + 710 = 2160.
По свойству вписанного угла угол В будет в два раза меньше центрального угла соответствующего дуге АDС, то есть
Ответ: 108
27874. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 1050, угол CAD равен 350. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
Данная задача может вызвать затруднение. Сразу невозможно явно увидеть ход решения. Вспомним, что известно про вписанный четырёхугольник: сумма его противоположных углов равна 180 градусам. Найдём
На данный момент мы нашли тот угол, который сразу же возможно определить по известному свойству. Если есть возможность найти какую-либо величину, сделайте это, пригодится. Действуем по принципу «находим то, что можно найти исходя из данных величин».
Далее используя теорему о сумме углов треугольника найдём угол ACD:
Вписанные углы ABD и ACD опираются на одну и туже дугу, это означает, что они равны, то есть
Ответ: 70
27875. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 750, угол CAD равен 350. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.
Известно, что вписанные углы опирающиеся на одну и ту же дугу, и лежащие от неё по одну сторону равны. Следовательно
В треугольнике ACD известно два угла, можем найти третий:
Далее воспользуемся свойством – известно, что у вписанного в окружность четырехугольника сумма противолежащих углов равна 1800, значит
Ответ: 110
27869. AC и BD — диаметры окружности с центром O. Угол ACB равен 380. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.
27873. Точки A, B, C, D, расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги AB, BC, CD и AD, градусные величины которых относятся соответственно как 4:2:3:6. Найдите угол A четырехугольника ABCD. Ответ дайте в градусах.
27876. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 1100, угол ABD равен 700. Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах.
Отмечу, что важно помнить указанные свойства и задачи вы решите без проблем. Конечно, можно выстроить решение не совсем корректно. Например, в задаче 27876 для самостоятельного решения приведено «длинное», или как ещё говорят нерациональное решение. Ничего страшного, если вы именно также решите задачу.
Главное чтобы вы помнили и применяли теорию, и в конечном итоге РЕШИЛИ задание.
В данной рубрике продолжим рассматривать задачи, приглашаю вас на блог!
На этом всё. Успеха вам!
С уважением, Александр Крутицких
Комиссия спрашивает у директора простой сельской школы:
— По какой причине у вас все дети говорят: пришедши, ушедши?
— А кто их знает, может они так привыкши!
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
У меня к вам вопрос.
В задаче 27875 видно, что угол ABC опирается на две дуги AD и DC, которые равны 75 и 35 соответственно. То бишь в сумме дают 110 градусов. НО угол ABC ведь вписанный, так почему мы не поделили на 2?
Просто в аналогичном задании 27876 вы поделили на 2
А все, кажется разобрался. Одно дело, когда известна величина дуги, а другое-величина угла.
Да, следует всегда помнить, что угловая мера дуги в два раза больше вписанного угла построенного на ней же. Но в этой задаче, кстати есть решение ещё проще: вписанные углы CAD и DBC равны, то есть DBC равен 35 градусов. А далее чтобы найти искомый угол нужно DBC+ABD=110.
Как видим задача на устный счёт, только нужно правильно и быстро «увидеть» решение. Рекомендую прямо на эскизе подписывать все углы, которые можно найти с помощью свойств, а уже потом производить вычисления, если они необходимы.
Александр задача 27872 решена методически не верно.
Прежде всего центральный угол по определению
не может быть более 180 градусов.Да и проведение радиусов не нужно.
Просто вписанный угол ABC опирается на дугу CDA= дуга CD + дуга DA
и т. д. Не нужно выражать вписанный угол через центральный угол. Лучше использовать осн. свойство вписанного угла: он равен половине дуги на которую опирается. С ув. А. П.
С ув. А.П.
Здравствуйте! Замечание понятно. Дело в том, что при размещении решений я умышленно исключил для себя понятие «методически неверно», у меня много «вольностей» на блоге. У многих задач есть более рациональные решения, чем изложенные здесь, но это не минус для меня. Важно понимание, и если ученик решит задание в 5 действий вместо 2, отлично!
Я понимаю, что математика наука строгая и желательно соблюдать методологию. Но цель у меня прежде всего «достучаться» до понимания процесса. Ваше решение практически то же, согласитесь, только форма записи изменена.
По поводу вписанного угла. Важно, что свойство вписанного угла работает и для мною придуманного (большего 180) центрального угла, и пусть меня закидают помидорами настоящие математики.
С уважением!