Теорема косинусов и теорема Пифагора. В этой статье мы рассмотрим теорему косинусов и как она используется для нахождения элементов треугольника. А так же разберём её взаимосвязь с теоремой Пифагора.
Знать эту теорему НЕОБХОДИМО. Что мы можем найти, используя её?
Если нам будут известны две стороны и угол между ними, мы без труда найдём третью сторону. Для этого нужно просто подставить в формулу известные величины. Для других сторон всё то же самое:
Можно ли использовать теорему косинусов для нахождения третьей стороны, если известны любые две стороны и угол, не лежащий между этими сторонами? Например, нам известны стороны a и b и угол альфа. Тогда из формулы
мы можем найти сторону «с». Приводим к виду:
То есть, мы получаем квадратное уравнение с переменной «с» (все остальные величины нам известны). Решив его, получим искомую сторону.
Мы можем найти любой угол, если нам известны все три стороны треугольника:
Разумеется, что учить все эти формулы не нужно, так как достаточно понимать сам смысл Теоремы косинусов. А косинус любого угла не трудно выразить используя простые алгебраические преобразования.
*Если вы вычисляете косинус тупого угла, то имейте ввиду, что должно получиться отрицательное значение, так как косинус угла от 90 до 180 градусов отрицателен. Если при решении в задачах получите положительное значение, то ищите ошибку.
Следующий вопрос: а если нам дана сторона и любые два угла, что делать? В этом случае теорема косинусов не используется, а на помощь приходит теорема синусов, её мы рассмотрим в одной из следующих статей, не пропустите!
Если вы будете в совершенстве владеть теоремами Пифагора, косинусов, синусов и свойствами подобия треугольников, то для вас не возникнет никаких сложностей с решением треугольников (в большинстве задач).
Следующий факт знают все, но всё же о взаимосвязи теоремы косинусов с теоремой Пифагора сказать стоит. Посмотрите на исходный рисунок, если угол альфа равен 90 градусов, то получим:
То есть, по сути, теорема Пифагора это как бы частный случай теоремы косинусов.
Рассмотрим прямоугольный треугольник. Покажем то же самое, но с другими обозначениями:
По теореме косинусов:
Так как угол С равен 90, то
Напомню, что зная любые две стороны в прямоугольном треугольнике, мы всегда можем найти третью. А далее без труда можем найти значение любой тригонометрической функции острого угла в нём. Можете изучить статью об этом.
Получить материал статьи в формате PDF
На этом всё. Успехов вам!!!
С уважением, Александр Крутицких.
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
